Revisión del 18:29 9 ene 2024 de Drake(discusión | contribs.)(Página creada con «==Enunciado== Una partícula describe un movimiento según la ecuación horaria <center><math>\vec{r}(t) = 4A\cos^2(\omega t)\vec{\imath}+5A\cos(\omega t)\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}-3A\cos^2(\omega t)\vec{k}</math></center> # Calcule la velocidad y la aceleración instantáneas de este movimiento. # Determine el parámetro arco como función del tiempo y escriba la ecuación de la trayectoria como función del parámetro arco. # Calcule el triedro de Frenet…»)
Una partícula describe un movimiento según la ecuación horaria
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}(t) = 4A\cos^2(\omega t)\vec{\imath}+5A\cos(\omega t)\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}-3A\cos^2(\omega t)\vec{k}}
Calcule la velocidad y la aceleración instantáneas de este movimiento.
Determine el parámetro arco como función del tiempo y escriba la ecuación de la trayectoria como función del parámetro arco.
Calcule el triedro de Frenet asociado a la trayectoria en cada instante, así como las componentes intrínsecas de la aceleración
Halle el radio de curvatura y la posición del centro de curvatura en cada instante. ¿Qué tipo de movimiento describe la partícula?
Velocidad y aceleración
Velocidad
Derivando una vez el vector de posición respecto al tiempo:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=-8A\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\cos(\omega t)\vec{\imath}+5A\omega\left(\cos^2(\omega t)-\,\mathrm{sen}^2(\omega t)\right)\vec{\jmath}+6A\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)\cos(\omega t)\vec{k}}
Podemos simplificar esta expresión con ayuda de las funciones trigonométricas del ángulo doble
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=-4A\omega\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{\imath}+5A\omega\cos(2\omega t)\vec{\jmath}+3A\omega\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{k}}
Aceleración
Derivando de nuevo obtenemos el vector aceleración:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=-8A\omega^2\cos(2\omega t)\vec{\imath}-10A\omega^2\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{\jmath}+6A\omega^2\cos(2\omega t)\vec{k}}
Parámetro arco
La celeridad nos da la derivada del parámetro arco respecto al tiempo. Hallamos el módulo de la velocidad
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v = \sqrt{16A^2\omega^2\,\mathrm{sen}^2(2\omega t)+25A^2\omega^2\cos^2(2\omega t)+9A^2\omega^2\,\mathrm{sen}^2(2\omega t)}=5A\omega}
Resulta que el movimiento es uniforme y el parámetro natural es proporcional al tiempo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{s}=5A\omega}
⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s = 5A\omega t\,}
⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t = s/(5A\omega)\,}
y la ecuación de la trayectoria parametrizada naturalmente es
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Triedro de Frenet y componentes intrínsecas
Vector tangente
Obtenemos el vector tangente como el unitario en la dirección de la velocidad
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}=\frac{\vec{v}}{v}=-\frac{4}{5}\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{\imath}+\cos(2\omega t)\vec{\jmath}+\frac{3}{5}\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{k}}
Vector binormal
El binormal lo hallamos normalizando el producto vectorial de la velocidad y la aceleración
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}\times\vec{a}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -4A\omega\,\mathrm{sen}(2\omega t) & 5A\omega\cos(2\omega t) & 3A\omega\,\mathrm{sen}(2\omega t) \\ -8A\omega^2\cos(2\omega t & -10A\omega^2\,\mathrm{sen}(2\omega t) & 6A\omega^2\cos(2\omega t)\end{matrix}\right|=30A^2\omega^3\vec{\imath}+40A^2\omega^3\vec{k}}
Dividiendo este vector por su módulo
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Vemos que resulta un vector constante y por tanto la trayectoria es plana, aunque tenga las tres coordenadas dependientes del tiempo.
El plano que contiene a la trayectoria es el dado por la ecuación vectorial
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⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3x+4z = 0\,}
Vector normal
Conocidos el vector tangente y el vector binormal, hallamos el vector normal como su producto vectorial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}=\vec{B}\times\vec{T} = -\frac{4}{5}\cos(2\omega t)\vec{\imath}-\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{\jmath}+\frac{3}{5}\cos(2\omega t)\vec{k}}
Aceleración tangencial
Puesto que el movimiento es uniforme, la aceleración tangencial es nula
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_t = \vec{0}}
Aceleración normal
Si la aceleración tangencial es nula, en este caso toda la aceleración es normal
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_n=\vec{a}=-8A\omega^2\cos(2\omega t)\vec{\imath}-10A\omega^2\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{\jmath}+6A\omega^2\cos(2\omega t)\vec{k}}
La componente normal de la aceleración la obtenemos proyectando la aceleración sobre el vector normal (o bien, en este caso, tomando simplemente el módulo de la aceleración ya que la componente normal es la única que hay y nunca puede ser negativa)
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_n = \vec{a}\cdot\vec{N} = |\vec{a}\,| = 10A\omega^2}
Nótese también que la nulidad de la aceleración tangencial implica que se habría podido calcular el vector normal principal simplemente normalizando la aceleración y haber obtenido después el vector binormal como producto vectorial del tangente unitario y el normal.
Radio y centro de curvatura. Tipo de movimiento
Radio de curvatura
Hallamos el radio de curvatura a partir de la celeridad y la aceleración normal
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R = \frac{v^2}{a_n} = \frac{25A^2\omega^2}{10A\omega^2}=\frac{5}{2}A}
Tipo de movimiento
Puesto que la trayectoria es plana (el vector binormal es constante) y el radio de curvatura es constante, llegamos a la conclusión de que se trata de un movimiento circular. Es más, dado que la rapidez es constante, el movimiento es circular uniforme.
Centro de curvatura
El centro de curvatura coincide en este caso con el centro de la circunferencia que describe la partícula
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_c = \vec{r}(t) + R\vec{N}(t) = \left(4A\cos^2(\omega t)\vec{\imath}+5A\cos(\omega t)\,\mathrm{sen}(\omega t)\vec{\jmath}-3A\cos^2(\omega t)\vec{k}\right)}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle +\frac{5A}{2}\left(-\frac{4}{5}\cos(2\omega t)\vec{\imath}-\,\mathrm{sen}(2\omega t)\vec{\jmath}+\frac{3}{5}\cos(2\omega t)\vec{k}\right)}
Desarrollando las funciones trigonométricas del ángulo doble, queda finalmente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_c = 2A\vec{\imath}- \frac{3A}{2}\vec{k}}
que efectivamente es un punto fijo, como corresponde a un movimiento circular.
