No Boletín - Sistema de ecuaciones vectoriales

Enunciado

Demuestre que si se cumplen simultáneamente las condiciones

${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}={\vec {A}}\cdot {\vec {C}}\,\,;$        ${\vec {A}}\times {\vec {B}}={\vec {A}}\times {\vec {C}}$

siendo ${\vec {A}}\neq {\vec {0}}$, entonces ${\vec {B}}={\vec {C}}$; pero si se cumple una de ellas y la otra no, entonces ${\vec {B}}\neq {\vec {C}}$.

Introducción

Existen varias formas de abordar este problema:

• Empleando las propiedades cancelativas.
• Mediante argumentos geométricos.
• Empleando el doble producto vectorial.

Veremos cada uno de estos tres métodos por separado.

Propiedades cancelativas

Si en la igualdad de los productos vectoriales pasamos todo al primer miembro nos queda

${\vec {A}}\times ({\vec {B}}-{\vec {C}})={\vec {0}}$

Esto quiere decir que el vector ${\vec {B}}-{\vec {C}}$ es paralelo al vector ${\vec {A}}$ (pudiendo también ser nula la diferencia). Por ello puede escribirse

$({\vec {B}}-{\vec {C}})\parallel {\vec {A}}\qquad \Rightarrow \qquad {\vec {B}}-{\vec {C}}=\lambda \,{\vec {A}}\qquad \Rightarrow \qquad {\vec {B}}={\vec {C}}+\lambda \,{\vec {A}}$

Si ahora multiplicamos escalarmente este resultado por ${\vec {A}}$ nos queda

${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}={\vec {A}}\cdot ({\vec {C}}+\lambda \,{\vec {A}})={\vec {A}}\cdot {\vec {C}}+\lambda \,{\vec {A}}\cdot {\vec {A}}={\vec {A}}\cdot {\vec {C}}+\lambda \,A^{2}\qquad \qquad (A=|{\vec {A}}|)$

Pero, al ser también iguales los productos escalares

$0=\lambda \,A^{2}\qquad \Rightarrow \qquad \lambda =0$

ya que el módulo de ${\vec {A}}$ no es nulo. Por tanto

${\vec {B}}={\vec {C}}$

Por otra parte, como la igualdad ${\vec {B}}={\vec {C}}$ implica trivialmente el cumplimiento de las igualdades ${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}={\vec {A}}\cdot {\vec {C}}\,\,$ y $\,\,{\vec {A}}\times {\vec {B}}={\vec {A}}\times {\vec {C}}$, es evidente que si una de estas dos últimas igualdades no se cumple (aunque la otra sí se cumpla) automáticamente ${\vec {B}}\neq {\vec {C}}$ .

Solución geométrica

Consideremos que ${\vec {B}}$ y ${\vec {C}}$ representan vectores de posición de dos puntos $B$ y $C$ respecto a un cierto origen de coordenadas fijo. En ese caso la ecuación vectorial

${\vec {0}}={\vec {A}}\times ({\vec {B}}-{\vec {C}})={\vec {A}}\times {\overrightarrow {CB}}\qquad \Rightarrow \qquad {\overrightarrow {CB}}\parallel {\vec {A}}$

Esto quiere decir que el vector que une los puntos $B$ y $C$ va en la dirección de ${\vec {A}}$ o, geométricamente, que $B$ se encuentra sobre una recta que pasa por $C$ y va en la dirección de ${\vec {A}}$ (ecuación vectorial de la recta).

Por otro lado, de la igualdad de productos escalares

$0={\vec {A}}\cdot ({\vec {B}}-{\vec {C}})={\vec {A}}\cdot {\overrightarrow {CB}}\qquad \Rightarrow \qquad {\overrightarrow {CB}}\perp {\vec {A}}$

Este resultado nos dice que el vector que une los puntos $C$ y $B$ es perpendicular al vector ${\vec {A}}$ y por tanto $B$ se encuentra en un plano que pasa por $C$ y tiene por vector normal a ${\vec {A}}$ (ecuación vectorial del plano).

Ahora bien, dado que ambas ecuaciones se cumplen simultáneamente, tenemos que $B$ se encuentra en la intersección de una recta que pasa por $C$ y un plano que pasa por $C$, siendo la recta normal al plano. La única intersección posible es el propio punto $C$, ambos puntos son el mismo y

${\vec {B}}={\vec {C}}$

Inversamente, si alguna de las igualdades no se cumple, entonces $B$ no se encuentra sobre la recta o no se encuentra sobre el plano, y no puede coincidir con el punto $C$, por lo que los vectores son diferentes.

Doble producto vectorial

Veamos primero una propiedad general. Si multiplicamos un vector ${\vec {B}}$ por un vector ${\vec {A}}$ y al resultado lo volvemos a multiplicar por el mismo vector ${\vec {A}}$, el resultado es, aplicando las propiedades del doble producto vectorial

${\vec {A}}\times ({\vec {A}}\times {\vec {B}})=({\vec {A}}\cdot {\vec {B}}){\vec {A}}-A^{2}{\vec {B}}$

Del segundo miembro podemos despejar el vector ${\vec {B}}$, ya que el módulo de ${\vec {A}}$ es no nulo

${\vec {B}}={\frac {({\vec {A}}\cdot {\vec {B}}){\vec {A}}}{A^{2}}}-{\frac {{\vec {A}}\times ({\vec {A}}\times {\vec {B}})}{A^{2}}}$

En esta expresión, el primer término del segundo miembro va en la dirección de ${\vec {A}}$, mientras que el segundo es ortogonal a este vector. Por ello esta fórmula nos da la descomposición de un vector en sus componentes paralela y normal a otro (como se hace, por ejemplo, al hallar las componentes intrínsecas de la aceleración).

Aplicando esta misma fórmula al vector ${\vec {C}}$ en lugar de ${\vec {B}}$ obtenemos

${\vec {C}}={\frac {({\vec {A}}\cdot {\vec {C}}){\vec {A}}}{A^{2}}}-{\frac {{\vec {A}}\times ({\vec {A}}\times {\vec {C}})}{A^{2}}}$

pero, de acuerdo con el enunciado,

${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}={\vec {A}}\cdot {\vec {C}}$    ${\vec {A}}\times {\vec {B}}={\vec {A}}\times {\vec {C}}$

por lo que, sustituyendo, nos queda

${\vec {B}}={\frac {({\vec {A}}\cdot {\vec {B}}){\vec {A}}}{A^{2}}}-{\frac {{\vec {A}}\times ({\vec {A}}\times {\vec {B}})}{A^{2}}}={\frac {({\vec {A}}\cdot {\vec {C}}){\vec {A}}}{A^{2}}}-{\frac {{\vec {A}}\times ({\vec {A}}\times {\vec {C}})}{A^{2}}}={\vec {C}}$

Y los dos vectores son iguales. Geométricamente, las identidades del enunciado conducen a que son iguales las componentes paralelas y normales a ${\vec {A}}$ y dos vectores son iguales si y solo si son iguales sus componentes.

Inversamente si alguno de los dos productos son diferentes, los vectores se diferenciarán o bien en su componente paralela o bien en su componente normal y por tanto no podrán ser iguales.