No Boletín - Identificación de lugar geométrico (Ex.Nov/16)

Enunciado

Sea $r\,$ la recta que pasa por el punto $P_{1}\,$ y es paralela al vector ${\vec {u}}\,$, y sea $P_{2}\,$ un punto que no pertenece a $r\,$.

¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos $P\,$ que satisfacen la ecuación ${\overrightarrow {P_{1}P}}\cdot {\vec {u}}={\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}\cdot {\vec {u}}\,$?

Solución

Como aplicación del producto escalar de vectores, se ha estudiado en la teoría que la ecuación del plano perpendicular al vector ${\vec {N}}\,$ y que pasa por el punto $Q\,$ viene dada por:

${\overrightarrow {QP}}\cdot {\vec {N}}=0$

Pues bien, la ecuación que nos propone el enunciado del presente ejercicio se reduce a esta forma mediante una sencilla operación de resta:

${\overrightarrow {P_{1}P}}\cdot {\vec {u}}={\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}\cdot {\vec {u}}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\left({\overrightarrow {P_{1}P}}-{\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}\right)\cdot {\vec {u}}=0\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,{\overrightarrow {P_{2}P}}\cdot {\vec {u}}=0$

Por tanto, el lugar geométrico de los puntos $P\,$ que satisfacen dicha ecuación es el plano perpendicular a la recta $r\,$ y que pasa por el punto $P_{2}\,$ (nótese que $r\,$ es paralela a ${\vec {u}}\,$).

Solución alternativa

La ecuación vectorial de un plano perpendicular al vector ${\vec {B}}$ es de la forma general

${\overrightarrow {AP}}\cdot {\vec {B}}=k$

siendo A un punto fijo y $k$ una constante. Tomando distintos valores de $k$ obtenemos planos paralelos.

En nuestro caso la ecuación tiene esta forma si tomamos ${\vec {B}}={\vec {u}}$. Es decir se trata de un plano perpendicular al vector ${\vec {u}}$ y por tanto a la recta $r$.

Para hallar un punto de este plano simplemente observamos que la ecuación se cumple para $P=P_{2}$ ya que trivialmente

$P=P_{2}\qquad \Rightarrow \qquad {\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}\cdot {\vec {u}}={\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}\cdot {\vec {u}}\,$

Por tanto, se trata de un plano perpendicular a la recta r y que pasa por el punto $P_{2}$.