No Boletín - Area de un cuadrilátero (Ex.Nov/12)

Enunciado

¿Corresponde la siguiente fórmula al área del cuadrilátero $ABCD\,$?

${\frac {1}{2}}\,|{\overrightarrow {AC}}\times {\overrightarrow {BD}}\,|$

Solución

La respuesta es sí. Para comprobarlo, llamamos $\,O\,$ al punto en el que se cortan la dos diagonales del cuadrilátero, y descomponemos cada diagonal del siguiente modo:

${\overrightarrow {AC}}={\overrightarrow {AO}}+{\overrightarrow {OC}}\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\overrightarrow {BD}}={\overrightarrow {BO}}+{\overrightarrow {OD}}$

Entonces, aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial respecto a la suma, la fórmula propuesta puede desarrollarse así:

${\begin{array}{rcl}\displaystyle {\frac {1}{2}}\,|{\overrightarrow {AC}}\times {\overrightarrow {BD}}\,|&=&\displaystyle {\frac {1}{2}}\,|({\overrightarrow {AO}}+{\overrightarrow {OC}})\times ({\overrightarrow {BO}}+{\overrightarrow {OD}})\,|={\frac {1}{2}}\,|{\overrightarrow {AO}}\times {\overrightarrow {BO}}+{\overrightarrow {AO}}\times {\overrightarrow {OD}}+{\overrightarrow {OC}}\times {\overrightarrow {BO}}+{\overrightarrow {OC}}\times {\overrightarrow {OD}}\,|=\\&&\\&=&\displaystyle {\frac {1}{2}}\,|{\overrightarrow {AO}}\times {\overrightarrow {BO}}\,|+{\frac {1}{2}}\,|{\overrightarrow {AO}}\times {\overrightarrow {OD}}\,|+{\frac {1}{2}}\,|{\overrightarrow {OC}}\times {\overrightarrow {BO}}\,|+{\frac {1}{2}}\,|{\overrightarrow {OC}}\times {\overrightarrow {OD}}\,|\end{array}}$

Obsérvese que, para dar el último paso, hemos igualado el módulo de una suma de cuatro vectores con la suma de los módulos de los cuatro vectores. Aunque en general el módulo de una suma de vectores no es igual a la suma de los módulos de los vectores, dicha igualdad sí que es cierta cuando los vectores sumados tienen todos la misma dirección y el mismo sentido. Eso es precisamente lo que aquí ocurre: los vectores $\,{\overrightarrow {AO}}\times {\overrightarrow {BO}}\,$, $\,{\overrightarrow {AO}}\times {\overrightarrow {OD}}\,$, $\,{\overrightarrow {OC}}\times {\overrightarrow {BO}}\,$ y $\,{\overrightarrow {OC}}\times {\overrightarrow {OD}}\,$ tienen todos dirección perpendicular al plano que contiene al cuadrilátero y sentido saliente de dicho plano.

Pero la última expresión a la que hemos llegado es claramente identificable (por una de las propiedades geométricas estudiadas del producto vectorial) como la suma de las áreas de los cuatro triángulos $\,AOB\,$, $AOD\,$, $COB\,$ y $\,COD\,$. Por tanto, queda demostrado que la expresión propuesta por el enunciado corresponde efectivamente al área del cuadrilátero $\,ABCD\,$.