Paralelogramo en cuadrilátero

Enunciado

Sea ABCD un cuadrilátero arbitrario. Demuestre, usando el álgebra vectorial, que los puntos medios de sus cuatro lados constituyen los vértices de un paralelogramo.

Solución

Sea O el origen de coordenadas. En ese caso los vectores de posición de los vértices son Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OB}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OC}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OD}} . Las posiciones de los puntos medios E, F, G y H se encuentran en

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OE}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2}}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OF}=\frac{\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{2}}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OG}=\frac{\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}}{2}}     Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OH}=\frac{\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OA}}{2}}

Para demostrar que estos cuatro puntos forman un paralelogramo, debemos probar que sus lados son paralelos dos a dos. El vector que une E y F es

${\overrightarrow {EF}}={\overrightarrow {OF}}-{\overrightarrow {OE}}={\frac {{\overrightarrow {OC}}-{\overrightarrow {OA}}}{2}}$

El vector que une H y G se calcula de la misma forma

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{HG}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OH}=\frac{\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}}{2}=\overrightarrow{EF}}

Resulta un vector idéntico al anterior y por tanto el vector ligado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{HG}} es paralelo al Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{EF}} .

Operando del mismo modo se demuestra que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{FG}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{EH}} son también paralelos e iguales.

Por tanto, el cuadrilátero EFGH es un paralelogramo, esto es, una figura plana con lados paralelos dos a dos.

Nótese que no se hace ninguna restricción sobre el cuadrilátero ABCD. Ni siquiera se exige que sea una figura plana. Puede ser una estructura articulada tridimensional y aun así, los puntos medios yacen en el mismo plano y forman un paralelogramo.