Expresión que carece de sentido (Ex.Nov/12)

Enunciado

Si $\,{\vec {a}}$, ${\vec {b}}$, ${\vec {c}}\,$ y $\,{\vec {d}}\,$ son vectores libres, y $\,\lambda \,$ es un escalar, ¿cuál de las cuatro siguientes expresiones carece de sentido en el álgebra vectorial?

(1) ${\frac {\lambda \,{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {c}}\times {\vec {d}}\,|}}$

(2) ${\frac {{\vec {a}}\times {\vec {b}}}{({\vec {c}}\cdot {\vec {d}}\,)}}$

(3) ${\vec {a}}\cdot [{\vec {b}}\times ({\vec {c}}\cdot {\vec {d}}\,)]$

(4) ${\vec {a}}\times [({\vec {b}}\times {\vec {c}}\,)+\lambda \,{\vec {d}}\,\,]$

Solución

La expresión (3) es la única que carece de sentido. El producto escalar de ${\vec {c}}\,$ y ${\vec {d}}\,$ da como resultado un escalar, y por eso no tiene sentido que $({\vec {c}}\cdot {\vec {d}}\,)\,$ aparezca multiplicado vectorialmente por el vector ${\vec {b}}\,$ (expresión dentro de los corchetes). El producto vectorial es un producto entre dos vectores; no existe el producto vectorial de un vector por un escalar.