Pulso en una cuerda (G.I.A.)

Enunciado

Los puntos de una cuerda horizontal se mueven verticalmente, de forma que el perfil de la cuerda tiene la forma

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y = \frac{1}{a\,x^2-b\,tx+c\,t^2+d}}

donde x e y se miden en centímetros y t en segundos.

1. Determina las relaciones que deben cumplirse entre los parámetros $a$, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d} para que esta función represente una onda viajera.
2. Demuestra que esta señal cumple la ecuación de onda si se cumplen las relaciones anteriores
3. Calcule la velocidad del punto de la cuerda situado en x = 15 cm, en (a) t = 0 s, (b) t = 0.5 s, (c) t = 1 s.

Solución

Relación entre los coeficientes

Para que sea una onda viajera la dependencia del pulso en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t } no puede ser cualquiera. Tiene que ocurrir que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y(x,t) = f(x\pm vt) }

siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v } una constante positiva que no dependa de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x } ni de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t } .

Observando la función vemos que el denominador tiene una estructura similar a la que se obtiene del desarrollo de un binomio. Basándonos en ello, buscamos escribir la función del modo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y(x,y) = \dfrac{y_0}{a'\,(x-vt)^2 + d'} }

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a' } , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d' } son tres constantes que tenemos que determinar en función de los coeficientes originales Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a } , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b } , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d } . Para ello desarrollamos el denominador de la función

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a'\,(x-vt)^2 + d' = a'\,x^2 -2\,a'v\,x\,t + a'\,v^2\,t^2 + d' = a\,x^2-b\,x\,t + c\,t^2 + d }

Igualando los factores que multiplican a los términos de estructura similar tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} a'=a \\ \\ 2\,a'\,v = b \\ \\ a'\,v^2 = c \\ \\ d'=d \end{array} }

La primera y la última de estas ecuaciones nos dan los valores de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a' } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d' } . De las otras dos obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} 2\,a'\,v = b & \Rightarrow & v = \dfrac{b}{2a} \\ &&\\ a'\,v^2 = c & \Rightarrow & v^2 = \dfrac{c}{a} \end{array} }

Para que estas dos expresiones se cumplan a la vez debe ocurrir que

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Esta es la relación que debe existir entre las constantes originales. Si se cumple, el pulso es una onda viajera que se escribe

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y(x,t) = \dfrac{y_0}{a\,(x-vt)^2 + d} }

con la velocidad dada por

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Ecuación de onda lineal

La ecuación de onda lineal se escribe

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\partial^2y}{\partial x^2} = \dfrac{1}{v^2}\dfrac{\partial^2y}{\partial t^2} }

Vamos a demostrar que, una vez que se cumple la relación entre coeficientes, la función cumple esta ecuación. La escribimos así

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y(x,t) = f[\eta(x,t)] = \dfrac{y_0}{a\,\eta^2 + d} \qquad\qquad \eta(x,t) = x - vt }

Calculamos las derivadas usando la regla de la cadena. La derivada parcial respecto a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x } es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\partial y}{\partial x} = \dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\eta}\dfrac{\partial \eta}{\partial x} = \dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\eta}\times 1 = \dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\eta} }

La segunda derivada es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\partial^2y}{\partial x^2} = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\eta}\left(\dfrac{\partial y}{\partial x}\right)\dfrac{\partial \eta}{\partial x} = \dfrac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}\eta^2}\times 1 = \dfrac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}\eta^2} }

La primera derivada parcial respecto al tiempo es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\partial y}{\partial t} =\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\eta}\dfrac{\partial \eta}{\partial t} = \dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\eta}\times (-v) =-v\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\eta} }

Derivando otra vez

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\partial^2y}{\partial t^2} = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\eta}\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)\dfrac{\partial \eta}{\partial x} = -v\dfrac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}\eta^2}\times (-v) = v^2\dfrac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}\eta^2} }

Despejando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}^2f/\mathrm{d}^2\eta } en las dos expresiones e igualándolas vemos que se cumple la función de onda.

Otra forma de resolver el primer apartado es obligar a la función original, con los cuatro parámetros Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a } , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b } , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d } a cumplir la ecuación de onda. Se puede ver que para que esto ocurra es necesario que se cumpla la relación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b^2=4\,a\,c } .

Valores numéricos

Verificamos primero que se cumple la relación necesaria para que el pulso sea una onda. Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} b^2 = 0.36\,\mathrm{cm^{-2}s^{-2}} \\ \\ 4\,a\,c = 0.36\,\mathrm{cm^{-2}s^{-2}} \end{array} }

La velocidad de la onda es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v = \dfrac{b}{2a} = 30\,\mathrm{cm/s} }

Para hallar la velocidad de un punto de la cuerda en concreto empleamos la derivada respecto al tiempo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial y}{\partial t}=-\frac{100(-60x+1800t)}{(x^2-60tx+900t^2+100)^2}}

Sustituyendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} = 15 cm

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\frac{\partial y}{\partial t}\right|_{x=15}=-\frac{100(-900+1800t)}{(325-900t+900t^2)^2}}

Para los tres instantes indicados tenemos

t = 0.0 s

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En este instante la partícula se encuentra ascendiendo, pues el pulso está llegando a su posición

t = 0.5 s

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\frac{\partial y}{\partial t}\right|_{x=15,t=0.5}=-\frac{100(-900+1800/2)}{(325-900/2+900/4)^2}=0.000\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}}

En este instante el punto se encuentra en el máximo del pulso y por ello su velocidad es nula.

t = 1.0 s

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\frac{\partial y}{\partial t}\right|_{x=15,t=1.0}=-\frac{100(-900+1800)}{(325-900+900)^2}=-0.852\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}}

En este instante, simétrico respecto al primero, la partícula se encuentra descendiendo y volviendo a su posición de equilibrio.