Enunciado

Partícula en barra horizontal con rozamiento

Una partícula Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} se ecuentra en un plano vertical y desliza libremente sobre una barra horizontal fija y rugosa (coeficiente dinámico Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu} ) situada en la posición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=h(cte)} . Un resorte ideal de constante recuperadora Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} y longitud natural nula tiene uno de sus extremos en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} y el otro en el origen de coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} . Considera que la partícula se está moviendo hacia la derecha Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\dot{x}>0)} . Aplica el principio de liberación y, usando los métodos de la Mecánica Analítica, obtén la ecuación diferencial de movimiento de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} y el valor de la fuerza normal.

Solución

Una partícula libre tiene tres grados de libertad. En este problema, la partícula debe cumplir dos vínculos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y = h, \qquad z = 0. }

Por tanto, el sistema tiene un grado de libertad. Podemos escoger la coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{ x \} } .

Sin embargo, la presencia del rozamiento hace que no podamos tratar el problema con un sólo grado de libertad. Para poder incluir la fuerza de rozamiento, hay que usar el Principio de liberación, y tratar las fuerzas vinculares (incluida la de rozamiento), como fuerzas activas. Por cada vínculo que rompamos hay que añadir una componente de reacción vincular en la dirección del movimiento afectado por el vínculo. En este caso

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} y = h & \to & N_y\,\vec{\jmath}, \\ z = 0 & \to & N_z\,\vec{k}. \end{array} }

Agrupamos estas dos fuerzas en una sóla fuerza normal

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N} = N_y\,\vec{\jmath} + N_z\,\vec{k}. }

Como la partícula desliza sobre la barra, estamos en régimen de rozamiento dinámico. En este régimen el módulo de la fuerza de rozamiento es conocido. Su dirección y sentido es opuesto a la velocidad de deslizamiento sobre la barra. Como el problema específica que estudiemos el caso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{x}>0 } (movimento hacia la derecha), la fuerza de rozamiento es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_R = -\mu|\vec{N}|\,\vec{\imath}, }

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu } es el coeficiente de rozamiento dinámico entre la partícula y la barra.

El efecto del peso y de la fuerza del muelle se incluyen en la función de Lagrange a través de la energía potencial.

Al aplicar el Principio de liberación, consideramos que el sistema tiene tres grados de libertad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{ x, y, z \} } . Los vectores de posición y velocidad son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{r} = x\,\vec{\imath} + y\,\vec{\jmath} + z\,\vec{k}, \\ \vec{v} = \dot{x}\,\vec{\imath} + \dot{y}\,\vec{\jmath} + \dot{z}\,\vec{k}, \end{array} }

La energía cinética es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}|^2 = \dfrac{1}{2}m\,(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2). }

Tomamos como referencia la altura del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X } para evaluar la energía pontencial gravitatoria

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_g = mgy }

El muelle tiene longitud natural nula. En la situación liberada, su energía potencial es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_m = \dfrac{1}{2}k\,|\overrightarrow{OP}|^2 = \dfrac{1}{2}\,k\,({x}^2 + {y}^2 + {z}^2). }

La función de Lagrange es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L = T - (U_g + U_m) = \dfrac{1}{2}m\,(\dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2) - mgy - \dfrac{1}{2}\,k\,({x}^2 + {y}^2 + {z}^2). }

Las ecuaciones de Lagrange son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{x}}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial x} = Q_x^{NC},\\ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{y}}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial y} = Q_y^{NC},\\ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{z}}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial z} = Q_z^{NC}. \end{array} }

Las fuerzas generalizadas tiene contibuciones de las fuerzas vincular y de rozamiento.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} Q^{NC}_x = (\vec{N} + \vec{F}_R)\cdot\dfrac{\partial \vec{v}}{\partial \dot{x}} = -\mu\,\sqrt{N_y^2 + N_z^2},\\ Q^{NC}_y = (\vec{N} + \vec{F}_R)\cdot\dfrac{\partial \vec{v}}{\partial \dot{y}} = N_y,\\ Q^{NC}_z = (\vec{N} + \vec{F}_R)\cdot\dfrac{\partial \vec{v}}{\partial \dot{z}} = N_z.\\ \end{array} }

Después de hacer las derivadas de la función de Lagrange, las ecuaciones de Lagrange quedan

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lr} m\ddot{x} + kx = -\mu\sqrt{N_y^2 + N_z^2}, & (1)\\ m\ddot{y} + ky + mg = N_y, & (2)\\ m\ddot{z} + kz = N_z. & (3) \end{array} }

Tenemos cinco incógnitas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{ x, y, z, N_y, N_z \} } . Las dos ecuaciones que faltan son las relaciones vinclares, así como sus derivadas y/o integrales.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lllr} y = h, & \dot{y} = 0, & \ddot{y}=0, & (4)\\ z = 0, & \dot{z} = 0, & \ddot{z}=0. & (5) \end{array} }

Aplicando las ecuaciones (4)-(5) en (1)-(3) obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} m\ddot{x} + kx = -\mu\,(mg + kh),\\ N_y = mg + kh,\\ N_z = 0. \end{array} }

Obtenido de «http://laplace.us.es/wiki/index.php?title=Partícula_en_barra_horizontal_con_rozamiento_(MRGIC)&oldid=2310»
Obtenido de «http://laplace.us.es/wiki/index.php?title=Partícula_en_barra_horizontal_con_rozamiento_(MRGIC)&oldid=2310»