Enunciado
Partícula en aro con diferentes métodos
Se tiene un aro circular de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} contenido en un plano vertical. Engarzado en él hay una masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} que puede deslizar siguiendo la circunferencia del aro bajo la acción de la gravedad.
- Suponiendo que el contacto es liso, encuentra las ecuación de movimiento de la masa usando el Principio de D'Alembert.
- Repite el primer apartado usando la energía cinética y fuerzas generalizadas.
- Repite el primer apartado usando la Función de Lagrange.
- Repite el primer apartado usando el Prinicipio de Liberación.
- Repite el primer apartado usando la técnica de los multiplicadores de Lagrange.
- Consideremos ahora que el vínculo entre la partícula y el aro es rugoso, con un coeficiente de rozamiento dinámico . Determina las ecuaciones de movimiento usando el Principio de Liberación.
Solución
Principio de D'Alembert
Primero identificamos el número de grados de libertad. La partícula está sometida a dos vínculos. Usando coordenadas cilíndricas estos vínculos se expresan
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r = R, \qquad z=0. }
Por tanto, la partícula tiene un grado de libertad. Vamos a usar la coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta } para trabajar. Los vectores de posición, velocidad y aceleración en coordenadas cilíndricas son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{r} = R\,\vec{u}_{r},\\ \vec{v} = R\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta},\\ \vec{a} = -R\dot{\theta}^2\,\vec{u}_r + R\ddot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}. \end{array} }
La única fuerza aplicada es el peso, como se indica en la figura. Proyectándolo cilíndricas tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{P}_m = mg\cos\theta\,\vec{u}_r - mg\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{u}_{\theta}. }
El Principio de D'Alembert establece que, en cualquier desplazamiento virtual, debe cumplirse
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\vec{P}_m - m\vec{a})\cdot\delta\vec{r} = 0. }
Como sólo hay un grado de libertad, el desplazamiento virtual mas general es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta\vec{r} = \left(\dfrac{\partial \vec{r}}{\partial\theta}\right)\,\delta\theta = R\,\dfrac{\partial\vec{u}_r}{\partial\theta}\,\delta\theta = R\delta\theta\,\vec{u}_{\theta}. }
Recordemos que en coordenadas cilíndricas se tiene
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\partial\vec{u}_r}{\partial\theta} = \vec{u}_{\theta}, \qquad \dfrac{\partial\vec{u}_{\theta}}{\partial\theta} = -\vec{u}_{r}. }
Tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{P}_m - m\vec{a} = m(g\cos\theta - R\dot{\theta}^2)\,\vec{u}_r - m(g\mathrm{sen}\,\theta + R\ddot{\theta})\,\vec{u}_{\theta}. }
Aplicando el Principio de D'Alembert, obtenemos la ecuación de movimiento
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R\ddot{\theta} + g\,\mathrm{sen}\,\theta = 0. }
Con la energía cinética
Al haber sólo un grado de libertad, hay una sola ecuación de Lagrange
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial T}{\partial\dot{\theta}}\right) - \dfrac{\partial T}{\partial\theta} = Q_{\theta}. }
La energía cinética es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}|^2 = \dfrac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^2. }
Tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \dfrac{\partial T}{\partial\dot{\theta}} = mR^2\dot{\theta} \Rightarrow \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial T}{\partial\dot{\theta}}\right) = mR^2\ddot{\theta}, \\ \dfrac{\partial T}{\partial\theta} = 0. \end{array} }
La fuerza generalizada es debida a la acción del peso. Es decir
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_{\theta} = \vec{P}_m\cdot\dfrac{\partial\vec{r}}{\partial\theta} = -mgR\,\mathrm{sen}\,\theta. }
Finalmente, la ecuación de movimiento es, nuevamente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R\ddot{\theta} + g\,\mathrm{sen}\,\theta = 0. }
Con la función de Lagrange
Al ser el peso una fuerza conservativa, podemos asignarle una energía potencial. Tomando como altura de referencia el centro del aro, tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U = -mgR\cos\theta. }
La función de Lagrange es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L = T - U = \dfrac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^2 + mgR\cos\theta. }
La ecuación de Lagrange es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial\theta} = 0. }
Tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}} = mR^2\dot{\theta} \Rightarrow \dfrac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\right) = mR^2\ddot{\theta}, \\ \dfrac{\partial L}{\partial\theta} = -mgR\,\mathrm{sen}\,\theta. \end{array} }
Por tanto la ecuación de movimiento es, de nuevo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R\ddot{\theta} + g\,\mathrm{sen}\,\theta = 0. }
Con el Principio de Liberación
Ahora vamos a romper los vínculos para que vimos en el apartado inicial. De este modo, trabajaremos con las tres coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{r, \theta, z \} } . Ahora bien, por cada vínculo que rompamos, hay que introducir una reacción vincular que, al final, será la que haga que se cumpla el vínculo en el movimiento real. En este caso rompemos dos vínculos relativos a desplazamientos, por lo que hay que añadir dos componentes de fuerza vincular
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} r = R & \Rightarrow & N_r\vec{u}_r\\ z = 0 & \Rightarrow & N_z\vec{k} \end{array} }
La fuerza vincular actúa en la dirección en la que el vínculo restringe el movimiento. Ahora estas fuerzas vinculares se consideran fuerzas activas. Vamos a agrupar las dos fuerzas vinculares en un único vector
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N} = N_r\,\vec{u}_r + N_z\,\vec{k}. }
Para construir la función de Lagrange tenemos que tener en cuenta que ahora todas las coordenadas son libres. Es decir, los vectores de posición y velocidad de la partícula son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{r} = r\,\vec{u}_r + z\,\vec{k},\\ \vec{v} = \dot{r}\,\vec{u}_r + r\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta} + \dot{z}\,\vec{k}. \end{array} }
Las energías cinética y potencial gravitatoria son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} T = \dfrac{m}{2}\,(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 + \dot{z}^2), \\ U = -mgr\cos\theta. \end{array} }
La función de Lagrange es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L = T -U = \dfrac{m}{2}\,(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 + \dot{z}^2) + mgr\cos\theta. }
Las tres ecuaciones de Lagrange son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{r}}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial r} = Q^{NC}_r, \\ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial \theta} = Q^{NC}_{\theta},\\ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{z}}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial z} = Q^{NC}_z. \end{array} }
Las fuerzas generalizadas son debidas a las fuerzas vinculares
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} Q^{NC}_r = \vec{N}\cdot\dfrac{\partial \vec{r}}{\partial r} = N_r, \\ Q^{NC}_{\theta} = \vec{N}\cdot\dfrac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} = 0,\\ Q^{NC}_z = \vec{N}\cdot\dfrac{\partial \vec{r}}{\partial z} = N_z. \end{array} }
Las ecuaciones de Lagrange resultantes son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} m\ddot{r} - mr\dot{\theta}^2 - mg\cos\theta = N_r, \\ mr^2\ddot{\theta} + 2mr\dot{r}\dot{\theta} + mgr\,\mathrm{sen}\,\theta = 0, \\ m\ddot{z} = N_z. \end{array} }
Tenemos cinco incógnitas: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{r, \theta, z, N_r, N_z \} } . Sólo hay tres ecuaciones de Lagrange, una por coordenada. Pero podemos añadir las ecuaciones de los vínculos, así como sus derivadas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lll} r = R, & \dot{r} = 0, & \ddot{r} = 0,\\ z = 0, & \dot{z} = 0, & \ddot{z} = 0. \end{array} }
Al aplicar estas ecuaciones en las ecuaciones de Lagrange obtenemos la ecuación de movimiento junto con las fuerzas vinculares
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} N_r = -m\,(R\dot{\theta}^2 + g\cos\theta),\\ R\ddot{\theta} + R\,\mathrm{sen}\,\theta = 0, \\ N_z = 0. \end{array} }
Con multiplicadores de Lagrange
La idea es similar al principio de liberación. Escribimos los vínculos como funciones que se igualan a cero. Y por cada vínculo que se rompe añadimos un multiplicador de Lagrange
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} f_1 = r-R = 0 & \Rightarrow & \lambda_1, \\ f_2 = z = 0 & \Rightarrow & \lambda_2. \\ \end{array} }
Ahora las incógnitas son Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{ r, \theta, z, \lambda_1, \lambda_1 \} } . Las tres ecuaciones de Lagrange para las coordenadas son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{r}}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial r} = Q^{ML}_r, \\ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial \theta} = Q^{ML}_{\theta},\\ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{z}}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial z} = Q^{ML}_z. \end{array} }
La función de Lagrange del sistema liberado es la misma que en el apartado anterior. La contribución a las fuerzas generalizadas de los multiplicadores son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} Q^{ML}_r = \lambda_1\dfrac{\partial f_1}{\partial r} + \lambda_1\dfrac{\partial f_2}{\partial r} = \lambda_1, \\ Q^{ML}_{\theta} = \lambda_1\dfrac{\partial f_1}{\partial \theta} + \lambda_1\dfrac{\partial f_2}{\partial \theta} =0\\ Q^{ML}_z = \lambda_1\dfrac{\partial f_1}{\partial z} + \lambda_1\dfrac{\partial f_2}{\partial z} = \lambda_2. \end{array} }
Las derivadas de los vínculos se hacen respecto a las coordenadas porque son vínculos geométricos. Si fuesen vínculos cinemáticos se harían respecto a las velocidades, esto es, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{ \dot{r}, \dot{\theta}, \dot{z} \} } .
Con esto, las ecuaciones de Lagrange quedan
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} m\ddot{r} - mr\dot{\theta}^2 - mg\cos\theta = \lambda_1, \\ mr^2\ddot{\theta} + 2mr\dot{r}\dot{\theta} + mgr\,\mathrm{sen}\,\theta = 0, \\ m\ddot{z} = \lambda_2. \end{array} }
Y ahora aplicamos de nuevo las relaciones vinculares y sus derivadas, con lo que tenemos cinco ecuaciones para cinco incógnitas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lll} r = R, & \dot{r} = 0, & \ddot{r} = 0,\\ z = 0, & \dot{z} = 0, & \ddot{z} = 0. \end{array} }
Con esto las ecuaciones de Lagrange quedan
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \lambda_1 = -m\,(R\dot{\theta}^2 + g\cos\theta),\\ R\ddot{\theta} + R\,\mathrm{sen}\,\theta = 0, \\ \lambda_2 = 0. \end{array} }
La segunda ecuación es la ecuación de movimiento. La segunda y la tercera dan el valor de los multiplicadores. Si comparamos con las ecuaciones finales del apartado anterior, vemos que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda_1 = N_r, \qquad \lambda_2 = N_z. }
Los multiplicadores son reacciones vinculares aplicadas en el el espacio de las configuraciones, en este caso el formado por las coordenadas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{ r, \theta, z \} } .
Rozamiento
La idea es incluir el rozamiento como una fuerza aplicada. Vamos a hacerlo con el Principio de Liberación. Estamos en régimen de rozamiento dinámico. Entonces la fuerza de rozamiento se opone a la velocidad de deslizamiento de la partícula sobre el vínculo (en este caso el aro) y su módulo es conocido
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{F}_R| = \mu|\vec{N}|, }
siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu } el coeficiente de rozamiento dinámico. La figura de la derecha corresponde al caso en que la partícula está bajando, es decir, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}<0 } . Podemos escribir el vector fuerza de rozamiento así
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_R = -\mathrm{sig}(\theta)\mu|\vec{N}|\vec{u}_{\theta}. }
La función Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{sig}(\theta) } es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{sig}(\theta) = \left\{ \begin{array}{rl} 1 & \dot{\theta} > 0, \\ -1 & \dot{\theta} < 0 \end{array} \right. }
Podemos reutilizar las ecuaciones obtenidas en el apartado de resolución con el Principio de Liberación. La función de Lagrange es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L = T -U = \dfrac{m}{2}\,(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 + \dot{z}^2) + mgr\cos\theta. }
Las tres ecuaciones de Lagrange son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{r}}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial r} = Q^{NC}_r, \\ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial \theta} = Q^{NC}_{\theta},\\ \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{z}}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial z} = Q^{NC}_z. \end{array} }
Las fuerzas generalizadas son debidas a las fuerzas vinculares y la fuerza de rozamiento
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} Q^{NC}_r = \vec{N}\cdot\dfrac{\partial \vec{r}}{\partial r} + \vec{F}_R\cdot\dfrac{\partial \vec{r}}{\partial r}= N_r, \\ Q^{NC}_{\theta} = \vec{N}\cdot\dfrac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} + \vec{F}_R\cdot\dfrac{\partial \vec{r}}{\partial \theta} = -\mathrm{sig}(\theta)\mu\,r\,\sqrt{N_r^2 + N_z^2},\\ Q^{NC}_z = \vec{N}\cdot\dfrac{\partial \vec{r}}{\partial z} + \vec{F}_R\cdot\dfrac{\partial \vec{r}}{\partial z} = N_z. \end{array} }
Tenemos cinco incógnitas: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{r, \theta, z, N_r, N_z \} } . Sólo hay tres ecuaciones de Lagrange, una por coordenada. Pero podemos añadir las ecuaciones de los vínculos, así como sus derivadas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lll} r = R, & \dot{r} = 0, & \ddot{r} = 0,\\ z = 0, & \dot{z} = 0, & \ddot{z} = 0. \end{array} }
Al aplicar estas ecuaciones en las ecuaciones de Lagrange obtenemos la ecuación de movimiento junto con las fuerzas vinculares
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} N_r = -m\,(R\dot{\theta}^2 + g\cos\theta),\\ \ddot{\theta} + \dfrac{g}{R}\,\mathrm{sen}\,\theta = -\mathrm{sig}(\theta)\mu\,|R\dot{\theta}^2 + g\cos\theta|, \\ N_z = 0. \end{array} }
Debido a la presencia de la función signo y el valor absoluto en la ecuación de movimiento, a la hora de integrar las ecuaciones hay que considerar separadamente los casos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{theta}>0 } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}<0 } .
