Revisión del 17:58 27 nov 2023 de Pedro(discusión | contribs.)(Página creada con «==Enunciado== Un oscilador amortiguado experimenta una fuerza de rozamiento viscoso <math>\mathbf{F}_r=-b \mathbf{v}</math>, de forma que su ecuación de movimiento, para un movimiento unidimensional es <center><math>ma =-b v-kx\,</math></center> <ol> <li> Demuestre que la energía mecánica <center><math>E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2</math></center> es una función decreciente con el tiempo.</li> <li> Si buscamos una solución particular de la forma <math>x…»)
Un oscilador amortiguado experimenta una fuerza de rozamiento viscoso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{F}_r=-b \mathbf{v}}
, de forma que su ecuación de movimiento, para un movimiento unidimensional es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ma =-b v-kx\,}
Demuestre que la energía mecánica
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2}
es una función decreciente con el tiempo.
Si buscamos una solución particular de la forma Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = A \mathrm{e}^{\lambda t}}
, calcule los dos valores que puede tener Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda}
. La solución general será una combinación de las dos posibilidades:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = A_1 \mathrm{e}^{\lambda_1 t}+A_2 \mathrm{e}^{\lambda_2 t}\,}
con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_1}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_2}
dos constantes a determinar mediante las condiciones iniciales.
¿Cuál es el máximo valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b}
para que haya oscilaciones? ¿cómo es el movimiento si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b}
supera ese valor?
Considere el caso particular de una partícula de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m=1\,\mathrm{kg}}
se encuentra sujeta a un muelle de constante
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k=1\,\mathrm{N}/\mathrm{m}}
, existiendo un rozamiento . Determine la posición en cualquier instante si se impulsa desde la posición de equilibrio con velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0=0.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}
si (a) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b = 1.6\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}/\mathrm{m}}
$; (b) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b = 2.5\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}/\mathrm{m}}
, (c) Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b = 2.0\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}/\mathrm{m}}
.
Solución
Disipación de la energía
Para ver que en presencia de rozamiento la energía mecánica se va perdiendo progresivamente, simplemente calculamos la derivada de la energía respecto al tiempo, para ver su signo.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=mv\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}+kx\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = v\left(ma+kx\right)}
De acuerdo con al ecuación de movimiento para el oscilador armónico con rozamiento
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ma + kx = -bv\,}
así que nos queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=v(-bv) = -bv^2}
Esta cantidad siempre es negativa, por lo que la energía es una función que decrece de forma continuada. El decrecimiento no es constante. Se anula en los puntos de retorno (en los que la velocidad es cero) y es máximo cuando lo es la velocidad.
Soluciones exponenciales
Vamos a buscar ahora soluciones particulares de forma exponencial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = A \mathrm{e}^{\lambda t}\,}
Calculamos la velocidad y la aceleración de este movimiento
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \lambda A \mathrm{e}^{\lambda t}}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \lambda^2 A \mathrm{e}^{\lambda t}}
Sustituyendo en la ecuación de movimiento
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0 = ma + bv + kx = (m\lambda^2 +b\lambda + k)A\mathrm{e}^{\lambda t}\,}
vemos que para que esta exponencial sea una solución, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda}
no puede tener cualquier valor, sino que debe cumplir la ecuación de segundo grado
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\lambda^2+b\lambda + k = 0\,}
Resolviendo esta ecuación obtenemos dos posibles valores de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4mk}}{2m}}
La solución general de la ecuación de movimiento será una combinación lineal de dos soluciones, una por cada exponente, exponenciales
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = A_1\mathrm{e}^{\lambda_1 t}+A_2\mathrm{e}^{\lambda_2t}\,}
Oscilaciones amortiguadas
Dependiendo del valor de la constante de rozamiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b}
tenemos dos posibilidades para los valores de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda}
(en realidad, tres, pero la tercera la dejaremos por ahora).
Rozamiento fuerte
Cuando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b}
es lo suficientemente grande
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b > 2\sqrt{mk}}
⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b^2-4mk > 0\,}
esto quiere decir que la raíz que aparece en la expresión del exponente Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda}
es real. Por tanto, los dos valores de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda}
son reales y negativos (uno más grande en magnitud que el otro). La solución general es una combinación de dos exponenciales decrecientes
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = A_1\mathrm{e}^{-|\lambda_1|t}+A_2\mathrm{e}^{-|\lambda_2|t}\,}
en este caso no hay oscilación alguna, sino que la partícula tiende, de forma más o menos rápida, hacia la posición de equilibrio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=0}
.
Este caso de conoce como de oscilador sobreamortiguado o amortiguamiento supercrítico.
Rozamiento débil
Si el coeficiente Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b}
es lo suficientemente pequeño
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b < 2\sqrt{mk}}
⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b^2-4mk < 0\,}
Tenemos entonces que en la expresión de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda}
aparece la raíz de número negativo, que es una cantidad imaginaria. De hecho, resultan dos valores para el exponente que son complejos conjugados
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda_1 = -\alpha + \mathrm{j}\omega\,}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda_2 = -\alpha - \mathrm{j}\omega\,}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha = \frac{b}{2m}}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega = \sqrt{\frac{k}{m}-\left(\frac{b}{2m}\right)^2}}
Una exponencial de un número imaginario significa una oscilación, ya que, por aplicación de la fórmula de Euler tenemos que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{e}^{\lambda t} = \mathrm{e}^{(-\alpha + \mathrm{j}\omega)t} = \mathrm{e}^{-\alpha t}\left(\cos(\omega t)+\mathrm{j}\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\right)}
de forma que la solución general de la ecuación de movimiento se puede escribir en la forma
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = a\mathrm{e}^{-\alpha t}\cos(\omega t)+b \mathrm{e}^{-\alpha t}\,\mathrm{sen}\,(\omega t)}
Cada una de estos sumandos es lo que se conoce como oscilaciones amortiguadas: la elongación varía con el tiempo como un coseno o un seno, pero la amplitud de esas oscilaciones decae exponencialmente. Al final, pasado un tiempo más o menos largo dependiendo de la intensidad del rozamiento, la partícula tiende a la posición de equilibrio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=0}
.
Este caso de conoce como de oscilador subamortiguado o amortiguamiento subcrítico.
Así pues, el valor máximo para que haya oscilaciones es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b_\mathrm{max} = 2\sqrt{km}=2m\sqrt{\frac{k}{m}}=2m\omega_0}
con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_0}
la frecuencia que tendría el oscilador si no hubiera rozamiento.
Casos particulares
En este apartado se trata de hallar la solución completa para tres situaciones que parten de la misma condición inicial, pero con diferentes coeficientes de rozamiento. No nos basta con calcular los exponentes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda_1}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda_2}
, sino que además debemos halalr las constantes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_1}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_2}
.
calculemos en primer lugar los valores de los exponentes. Emplearemos en todos los cálculos el sistema internacional. Tenemos que para los tres casos, la frecuencia propia
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}= 1\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}}
Los exponentes cumplen en los tres casos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda = -\frac{b}{2m}\pm\sqrt{\left(\frac{b}{2m}\right)^2-\frac{k}{m}}}
y esto nos da, en cada caso
Si b = 1.6 N·s/m (subamortiguado)
Sustituyendo en la ecuación de los exponentes
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda = -0.8\pm 0.6\mathrm{j}\ \left(\mathrm{s}^{-1}\right)}
Los exponentes son complejos conjugados, por lo que el sistema posee amortiguamiento subcrítico y las soluciones son oscilaciones amortiguadas, que podemos escribir como
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = C_1 \mathrm{e}^{-0.8t}\cos(0.6t)+C_2 \mathrm{e}^{-0.8t}\,\mathrm{sen}\,(0.6t)\ (\mathrm{m})}
Imponiendo las condiciones iniciales tenemos que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_0 = 0\,\mathrm{m}}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0 = 0.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}
Del primer valor
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0 = x_0 = x(0) = C_1}
⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = C_2 \mathrm{e}^{-0.8t}\,\mathrm{sen}\,(0.6t)\,}
Derivando aquí obtenemos la velocidad
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=C_2 \mathrm{e}^{-0.8t}\left(0.6\cos(0.6t)-0.8\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\right)\quad (\mathrm{m}/\mathrm{s})}
Imponiendo la condición inicial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0.6 = v_0 = v(0) = 0.6C_2\quad (\mathrm{m}/\mathrm{s})}
⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_2 = 1\,\mathrm{m}}
Por tanto, la solución completa para este caso es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = \mathrm{e}^{-0.8t}\,\mathrm{sen}\,(0.6t)\quad(\mathrm{m})}
Si b = 2.5 N·s/m (sobreamortiguado)
Sustituyendo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda = -1.25\pm 0.75\ \left(\mathrm{s}^{-1}\right)}
⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda_1 = -0.5\,\mathrm{s}^{-1}}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda_2 = -2\,\mathrm{s}^{-1}}
Los exponentes son ambos reales y negativos, por lo que el sistema posee amortiguamiento supercrítico y las soluciones son combinaciones de exponenciales decrecientes
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = A_1 \mathrm{e}^{-0.5t}+A_2 \mathrm{e}^{-2t}\quad (\mathrm{m})}
Imponiendo las condiciones iniciales tenemos que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_0 = 0\,\mathrm{m}}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0 = 0.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}
Del primer valor
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0 = x_0 = x(0) = A_1+A_2\quad(\mathrm{m})}
Derivando obtenemos la velocidad
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-0.5A_1 \mathrm{e}^{-0.5t}-2A_2 \mathrm{e}^{-2t}\quad (\mathrm{m}/\mathrm{s})}
Imponiendo la condición inicial
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0.6 = v_0 = v(0) = -0.5A_1-2A_2\quad (\mathrm{m}/\mathrm{s})}
Nos queda el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_1+A_2 = 0\,}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -0.5A_1-2A_2=0.6\,}
con solución
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_1 = 0.4\quad A_2 = -0.4\quad (\mathrm{m})}
Así que la solución para este caso es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = 0.4\left(\mathrm{e}^{-0.5t}- \mathrm{e}^{-2t}\right)\quad (\mathrm{m})}
Si b = 2.0 N·s/m (crítico)
El caso b = 2.0 N·s/m es especial, ya que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda = -1\pm 0\ \left(\mathrm{s}^{-1}\right)}
⇒ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda_1 = \lambda_2 = -1\,\mathrm{s}^{-1}}
Si los dos exponentes son iguales, ¿cómo podemos escribir la solución como una combinación de dos exponenciales?
Para evitar entrar en toda la teoría de ecuaciones diferenciales, vamos a resolver este caso considerándolo como un caso límite.
Supongamos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b < 2}
y luego tomaremos el límite Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b\to 2}
. Para un valor de b subcrítico, los exponentes valen
(sutituyendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k}
)
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda = -\frac{b}{2} \pm\omega \mathrm{j}\qquad \omega = \sqrt{1-\frac{b^2}{4}}}
y la solución puede escribirse como
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = C_1 \mathrm{e}^{-bt/2}\cos(\omega t)+C_2 \mathrm{e}^{-bt/2}\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\qquad (\mathrm{m})}
Imponiendo las condiciones iniciales resulta
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0 = x_0 = C_1\ (\mathrm{m})}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0.6=v_0 = \omega C_2\ (\mathrm{m}/\mathrm{s})}
así que la solución para todo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b}
subcrítico es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = \frac{0.6}\mathrm{e}^{-bt/2}\frac{\mathrm{sen}\,(\omega t)}{\omega}\ (\mathrm{m})}
Consideremos el límite Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b\to 2}
. En este límite
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b\to 2}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega = \sqrt{1-\frac{b^2}{4}}\to 0}Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{sen}(\omega t)}{\omega}\to t}
y por tanto la solución en este caso es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = 0.6\mathrm{e}^{-t}t\ (\mathrm{m})}
Comparación de los tres casos
Podemos comparar las tres soluciones. En las tres curvas tenemos la misma pendiente inicial, como corresponde a que la velocidad inicial en los tres casos sea la misma. El caso sobreamortiguado (o supercrítico) es el que antes se para (máximo de la curva) y a partir de ahí vuelve suavemente a la posición de equilibrio. El caso subamortiguado (o subcrítico) es el que llega más lejos y a partir de ahí vuelve y realiza oscilaciones (pasa por debajo de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=0}
) aunque muy atenuadas. En el caso crítico se para en una posición intermedia y luego vuelve a la posición de equilibrio rápidamente. Puede demostrarse¡ que el amortiguamiento crítico es la solución que menos tarda en quedarse en reposo (ni oscila, ni va demasiado despacio) y por tanto es la solución óptima a la hora de diseñar un amortiguador.
