Solución general del MAS

Enunciado

La solución general de la ecuación de movimiento

$m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx$

es de la forma

$x=a\cos(\omega t)+b\,\mathrm {sen} \,(\omega t)$  $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

con $a$ y $b$ dos constantes dependientes de las condiciones iniciales.

1. Halle el valor de las constantes $a$ y $b$ si la posición inicial de la partícula es $x_{0}$ y su velocidad inicial es $v_{0}$.
2. Calcule la velocidad de la partícula para cualquier instante en función de la posición y velocidad iniciales.
3. Demuestre que la ecuación horaria $x=A\cos \left(\omega t+\phi \right)$ es también solución de la misma ecuación de movimiento. Empleando relaciones trigonométricas, deduzca la relación entre las constantes $\{A,\phi \}$ y las constantes $\{a,b\}$. Exprese $A$ y $\phi$ en función de la posición y la velocidad iniciales, $x_{0}$ y $v_{0}$.
4. Demuestre que la cantidad $E=mv^{2}/2+kx^{2}/2$ no depende del tiempo. ¿Cuánto vale en función de las condiciones iniciales?
5. Demuestre que $x=\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}$, con $\mathrm {j} =\mathrm {i} ={\sqrt {-1}}$, la unidad imaginaria, es una solución particular de la ecuación de movimiento. Aplicando los resultados anteriores, demuestre la relación

$\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}=\cos(\omega t)+\mathrm {j} \,\mathrm {sen} \,(\omega t)$

Solución

Valor de a y b

Haciendo $t=0$ en la ley horaria, el resultado debe ser igual a la posición inicial

$x_{0}=x(0)=a\cos(\omega \cdot 0)+b\,\mathrm {sen} \,(\omega \cdot 0)=a$ ⇒ $a=x_{0}\,$

Para hallar $b$ necesitamos la velocidad. Derivando en la ley horaria

$v={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-a\omega \,\mathrm {sen} \,(\omega t)+b\omega \cos(\omega t)$

y su valor en $t=0$ nos da $b$

$v_{0}=-a\omega \,\mathrm {sen} \,(\omega \cdot 0)+b\omega \cos(\omega \cdot 0)=b\omega$  ⇒  $b={\frac {v_{0}}{\omega }}$

Por tanto, la posición en cualquier instante, en función de las condiciones iniciales, es

$x=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {v_{0}}{\omega }}\mathrm {sen} \,(\omega t)$

Como casos particulares tenemos

• el de una partícula que se libera desde una cierta posición en reposo

$v_{0}=0\,$    $x=x_{0}\cos(\omega t)\,$

• el de una partícula a la que se comunica un impulso inicial en la posición de equilibrio

$x_{0}=0\,$    $x={\frac {v_{0}}{\omega }}\mathrm {sen} \,(\omega t)$

Velocidad

Conocida la posición en función de las condiciones iniciales, el cálculo de la velocidad en cada instante es inmediato:

$v={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-x_{0}\omega \,\mathrm {sen} \,(\omega t)+v_{0}\cos(\omega t)$

Para los casos particulares anteriores:

• Una partícula que se libera desde una cierta posición en reposo

$v_{0}=0\,$    $v=-x_{0}\omega \,\mathrm {sen} \,(\omega t)$

• el de una partícula a la que se comunica un impulso inicial en la posición de equilibrio

$x_{0}=0\,$    $x=v_{0}\cos(\omega t)\,$

Amplitud y desfase

Una manera alternativa de escribir la solución general es en la forma

$x=A\cos(\omega t+\phi )\,$

donde $A$ es la amplitud del movimiento y $\phi \,$ es su desfase.

Veamos en primer lugar que se trata de una solución de la ecuación de movimiento. Derivando dos veces

$v={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \,\mathrm {sen} \,(\omega t+\phi )$    $a={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-A\omega ^{2}\cos(\omega t+\phi )$

y sustituyendo

$ma=-mA\omega ^{2}\cos(\omega t+\phi )=-(m\omega ^{2})x=-kx\,$

Por tanto, es una solución de la ecuación de movimiento. Queda por ver que se trata de una solución general.

Dado que la solución general de la ecuación de movimiento puede escribirse en la forma indicada en el enunciado, la que acabamos de comprobar también podrá escribirse en la misma forma, esto es, existen dos constantes $a$ y $b$ tales que

$A\cos(\omega t+\phi )=a\cos(\omega t)+b\,\mathrm {sen} \,(\omega t)$

Para hallar sus valores, aplicamos la relación trigonométrica

$\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\,\mathrm {sen} \,(x)\,\mathrm {sen} \,(y)$

que, aplicada a nuestro caso, da

$A\cos(\omega t)\cos(\phi )-A\,\mathrm {sen} \,(\omega t)\,\mathrm {sen} \,(\phi )=a\cos(\omega t)+b\,\mathrm {sen} \,(\omega t)$

Puesto que $a$ y $b$ deben ser independientes del tiempo, y esta relación debe cumplirse en todo instante, los coeficientes de $\cos(\omega t)\,$ y $\mathrm {sen} \,\omega t)$ de un miembro deben ser iguales a los del otro miembro:

$A\cos(\phi )=a\,$    $A\,\mathrm {sen} \,(\phi )$

o, equivalentemente

$A={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$    $\phi =\,\mathrm {arctg} \,\left({\frac {b}{a}}\right)$

Estas relaciones, y las anteriores, permiten calcular $A$ y $\phi \,$, dados a y b arbitrarios, y viceversa. Esto quiere decir que la solución en términos de la amplitud y el desfase no es solamente una solución particular, sino una general.

Gráficamente, el paso de las constantes $\{a,b\}$ a las constantes $\{A,\phi \}$ equivale a un paso de cartesianas a polares, siendo $A$ el módulo y $\phi \,$ el ángulo.

En términos de las condiciones iniciales

$A={\sqrt {x_{0}^{2}+{\frac {v_{0}^{2}}{\omega ^{2}}}}}$    $\phi =\,\mathrm {arctg} \,\left({\frac {v_{0}}{\omega x_{0}}}\right)$

Conservación de la energía

Existen varias formas de demostrar la conservación de la energía mecánica

$E={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {1}{2}}kx^{2}$

Derivada temporal

La forma más general de demostrar que una cantidad es una constante de movimiento (o integral primera) es probando que su derivada respecto al tiempo se anula.

En nuestro caso, $m$ y $k$ son constantes del problema, pero $x$ y $v$ son funciones del tiempo, así que la derivada de la energía, aplicando dos veces que

${\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}(f(t)^{2})=2f(t){\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}(t)$

resulta

${\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}=kv\,{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}+kx\,{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=m\,v\,a+k\,x\,v=v(ma+kx)$

pero lo que define al oscilador armónico es que

$ma=-kx\,$

así que, sustituyendo

${\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}=v(ma+kx)=v(-kx+kx)=0$

y, puesto que la derivada de la energía respecto al tiempo se anula en todo instante, la energía es constante.

El cálculo anterior no nos dice cuánto vale la energía, pero si es constante debe ser igual al valor que tiene en el instante inicial, esto es

$E={\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {1}{2}}kx^{2}=E(0)={\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}$

A partir de la amplitud y el desfase

El método anterior permite demostrar la constancia de la energía sin necesidad de conocer la solución de la ecuación de movimiento. No obstante, si esta se conoce, el cálculo puede ser más sencillo.

Demostramos antes que una solución general es de la forma

$x=A\cos(\omega t+\phi )\,$    $v=-A\omega \,\mathrm {sen} \,(\omega t+\phi )$    $\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

Sustituyendo en la expresión de las energías, tenemos

• Energía cinética:

$T={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}mA^{2}\omega ^{2}\mathrm {sen} ^{2}(\omega t+\phi )={\frac {1}{2}}kA^{2}\,\mathrm {sen} ^{2}(\omega t+\phi )$

• Energía potencial:

$U={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t+\phi )$

• Energía mecánica:

$E=T+U={\frac {1}{2}}kA^{2}\left(\mathrm {sen} ^{2}(\omega t+\phi )+\cos ^{2}(\omega t+\phi )\right)={\frac {1}{2}}kA^{2}$

que nos dice que la energía no solo es constante, sino que es proporcional al cuadrado de la amplitud de las oscilaciones. Obsérvese que tanto la energía cinética como la potencial son cantidades oscilantes. Es su suma la que permanece constante. Durante el movimiento oscilatorio la energía cinética se transforma en potencial y viceversa.

En términos de las condiciones iniciales

$E={\frac {1}{2}}kA^{2}={\frac {1}{2}}k\left(x_{0}^{2}+{\frac {v_{0}^{2}}{\omega ^{2}}}\right)={\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}+{\frac {1}{2}}kx_{0}^{2}$

A partir de las condiciones iniciales

La constancia de la energía también puede demostrarse directamente a partir de la expresión

$x=x_{0}\cos(\omega t)+{\frac {v_{0}}{\omega }}\,\mathrm {sen} \,(\omega t)$    $v=-x_{0}\omega \,\mathrm {sen} \,(\omega t)+v_{0}\cos(\omega t)$

Sustituyendo tenemos la energía cinética

$T={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x_{0}^{2}\mathrm {sen} ^{2}(\omega t)+{\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}\cos ^{2}(\omega t)-mx_{0}v_{0}\omega \cos(\omega t)\,\mathrm {sen} \,(\omega t)$

y la energía potencial

$U={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}kx_{0}^{2}\cos ^{2}(\omega t)+{\frac {1}{2}}m{\frac {v_{0}^{2}}{\omega ^{2}}}\mathrm {sen} ^{2}(\omega t)+kx_{0}{\frac {v_{0}}{\omega }}\cos(\omega t)\,\mathrm {sen} \,(\omega t)$

Sumando y aplicando que $\omega ^{2}=k/m\,$

$E=T+U={\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}+{\frac {1}{2}}kx_{0}^{2}=\mathrm {cte}$

Fórmula de Euler

En este apartado aparece un concepto matemático que puede resultar novedoso: una exponencial de argumento complejo (imaginario puro, en este caso). De lo que se tratará es precisamente de interpretarlo en términos de resultados conocidos.

Demostremos, en primer lugar, que la función

$x=\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}$

es una solución particular de la ecuación de movimiento. Derivando dos veces

$v={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=\mathrm {j} \,\omega \,\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}$     $a={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=(\mathrm {j} \,\omega )^{2}\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}=-\omega ^{2}\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}=-\omega ^{2}x$

Sustituyendo en la ecuación de movimiento

$ma=-m\omega ^{2}\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}=-k\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}=-kx\,$

Por tanto, esta función es una solución de la ecuación y, como tal, deben existir constantes tales que

$\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}=a\cos(\omega t)+b\,\mathrm {sen} \,(\omega t)$

Estas constantes las sacamos de la “posición” y “velocidad” iniciales (las comillas se deben a que estamos hablando de cantidades complejas, sin una interpretación física inmediata).

Para la posición

$a=x_{0}=x(0)=\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega \cdot 0}=\mathrm {e} ^{0}=1$

Para la velocidad

$b={\frac {v_{0}}{\omega }}={\frac {v(0)}{\omega }}=\mathrm {j}$

Combinando los dos resultados

$\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}=\cos(\omega t)+\mathrm {j} \,\mathrm {sen} \,(\omega t)$

Esta es la llamada fórmula de Euler, que nos dice que una exponencial de un número imaginario es un número complejo, cuya parte real es el coseno de la parte imaginaria del exponente y cuya parte imaginaria el seno de esta misma parte imaginaria.

    

El módulo de este número complejo es la unidad, mientras que su argumento es precisamente $\omega t$. Dado que en una oscilación esta cantidad va aumentando progresivamente, la representación más adecuada de $\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}$ es en forma de número complejo rotante en torno al origen. Las proyecciones de este vector rotante sobre los ejes son precisamente las funciones oscilantes $\cos(\omega t)$ y $\mathrm {sen} \,(\omega t)$.

Más en general, puede calcularse la exponencial de un número complejo cualquiera, empleando la propiedad de que la exponencial de una suma es el producto de exponenciales,

$\mathrm {e} ^{z}=\mathrm {e} ^{u+\mathrm {j} v}=\mathrm {e} ^{u}\left(\cos(v)+\mathrm {j} \,\mathrm {sen} \,(v)\right)$

Aplicando el mismo razonamiento a la función $\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} \omega t}$, que también es una solución particular de la ecuación de movimiento, resulta

$\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} \omega t}=\cos(\omega t)-\mathrm {j} \,\mathrm {sen} \,(\omega t)$

y combinando ambas expresiones, podemos redefinir el coseno como

$\cos(\omega t)=\mathrm {Re} \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}\right)={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} \omega t}}{2}}$

y el seno como

$\mathrm {sen} \,(\omega t)=\mathrm {Im} \left(\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}\right)={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} \omega t}}{2\mathrm {j} }}$

Según esto, el coseno y el seno pueden entenderse como combinaciones de exponenciales complejas.