Cuatro partículas en un cuadrado

Enunciado

Se tienen 4 masas que ocupan los vértices de un cuadrado de lado $a=1\,\mathrm {m}$. Calcula la posición del centro de masas del sistema en cada uno de los casos siguientes

1. $m_{1}=m_{2}=m_{3}=m_{4}=1\,\mathrm {kg}$.
2. $m_{1}=m_{2}=2\,\mathrm {kg}$, $m_{3}=m_{4}=1\,\mathrm {kg}$.
3. $m_{1}=m_{4}=2\,\mathrm {kg}$, $m_{2}=m_{3}=1\,\mathrm {kg}$.
4. $m_{1}=100\,\mathrm {kg}$, $m_{2}=m_{3}=m_{4}=1\,\mathrm {kg}$.

Solución

Para un sistema de $n$ masas puntuales, cada una con una masa $m_{i}$ y un vector de posición ${\vec {r}}_{i}$, la posición del centro de masas (CM) viene dada por la expresión

${\vec {r}}_{CM}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}m_{i}}}$

En este caso tenemos cuatro masas. Utilizando el sistema de ejes de la figura sus vectores de posición son

${\begin{array}{l}\displaystyle {\vec {r}}_{1}=-{\frac {a}{2}}\,{\vec {\imath }}-{\frac {a}{2}}\,{\vec {\jmath }}\\\\\displaystyle {\vec {r}}_{2}=+{\frac {a}{2}}\,{\vec {\imath }}-{\frac {a}{2}}\,{\vec {\jmath }}\\\\\displaystyle {\vec {r}}_{3}=+{\frac {a}{2}}\,{\vec {\imath }}+{\frac {a}{2}}\,{\vec {\jmath }}\\\\\displaystyle {\vec {r}}_{4}=-{\frac {a}{2}}\,{\vec {\imath }}+{\frac {a}{2}}\,{\vec {\jmath }}\end{array}}$

Aplicando la expresión que nos da el CM tenemos

$\displaystyle {\vec {r}}_{CM}={\frac {a}{2(m_{1}+m_{2}+m_{3}+m_{4})}}\left[(-m_{1}+m_{2}+m_{3}-m_{4})\,{\vec {\imath }}+(-m_{1}-m_{2}+m_{3}+m_{4})\,{\vec {\jmath }}\right]$

Examinemos cada uno de los casos planteados.

Todas las masas iguales

En esta situación obtenemos

${\vec {r}}_{CM}={\vec {0}}$

El CM se sitúa en el origen del sistema de coordenadas. Recordemos que si hay un elemento de simetría en el sistema el CM tiene que estar en él. En este caso el centro del cuadrado es un punto de simetría.

$m_{1}=m_{2}$ y $m_{3}=m_{4}$

Aplicando la expresión tenemos

$\displaystyle {\vec {r}}_{CM}=-a{\frac {m_{1}-m_{3}}{m_{1}+m_{3}}}\,{\vec {\jmath }}$

El eje $Y$ es de simetría, luego el CM debe estar en él. Además, las masas $m_{1}$ y $m_{2}$ son más grandes, por lo que el CM está más cerca de ellas. Sustituyendo los valores numéricos tenemos

${\vec {r}}_{CM}=-(1/3)\,{\vec {\jmath }}\quad (\mathrm {m} )$

$m_{1}=m_{4}$ y $m_{2}=m_{3}$

Aplicando la expresión tenemos

$\displaystyle {\vec {r}}_{CM}=-a{\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\,{\vec {\imath }}$

El eje $X$ es de simetría, luego el CM debe estar en él. Además, las masas $m_{1}$ y $m_{4}$ son más grandes, por lo que el CM está más cerca de ellas. Sustituyendo los valores numéricos tenemos

${\vec {r}}_{CM}=-(1/3)\,{\vec {\imath }}\quad (\mathrm {m} )$

Este caso es equivalente al anterior si giramos el cuadrado 90^o.

$m_{2}=m_{3}=m_{4}$ y $m_{1}>>m_{2}$

Aplicando la expresión tenemos

$\displaystyle {\vec {r}}_{CM}=-a{\frac {m_{1}-m_{2}}{2(m_{1}+3m_{2})}}\,\left({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\right)$

En este caso el eje de simetría es la diagonal que se muestra en la figura. El CM debe estar en esa diagonal, y más cerca de la masa $m_{1}$ pues esta es mucho mayor que las otras. Sustituyendo los valores numéricos tenemos

${\vec {r}}_{CM}=-{\dfrac {99}{206}}\,({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }})\quad (\mathrm {m} )$