Centro de masas de un sistema de partículas

Definición

El centro de masas (CM) de un sistema de partículas es una media ponderada, según la masa individual, de las posiciones de todas las partículas que lo componen

$\mathbf {r} _{C}={\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}+\cdots ...}{m_{1}++m_{2}+\cdots }}={\frac {\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {r} _{i}}{M}}$

Equivalentemente se cumple

$M\mathbf {r} _{C}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}$

En el caso de un sistema continuo, habrá que sumar para todos los elementos que lo componen

$\mathbf {r} _{C}={\frac {1}{M}}\int _{M}\mathbf {r} \,\mathrm {d} m={\frac {1}{M}}\int _{\tau }\mathbf {r} \,\rho \,\mathrm {d} \tau$

Velocidad del centro de masas

El centro de masas no es un punto fijo, sino que puede desplazarse cuando lo hacen las partículas del sistema. Obtenemos su velocidad derivando la definición respecto al tiempo

$\mathbf {v} _{C}={\frac {\mathrm {d} \mathrm {r} _{C}}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{M}}\left(m_{1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}}{\mathrm {d} t}}+m_{1}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}}{\mathrm {d} t}}+\cdots \right)={\frac {m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots ...}{M}}={\frac {\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {v} _{i}}{M}}$

Posición relativa al centro de masas

Una vez definida la posición del centro de masas, interesa indicar dónde están situadas las partículas respecto al CM. Esto se consigue definiendo la posición relativa

$\mathbf {r} '_{i}=\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{C}$

De manera análoga se define la velocidad relativa al CM

$\mathbf {v} '_{i}=\mathbf {v} _{i}-\mathbf {v} _{C}$