Disco apoyado en dos varillas en forma de V

Enunciado

En el esquema de la figura la barras Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AB} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AC} , ambas de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} , están articuladas sin rozamiento en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y con sus extremos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} en un eje horizontal sobre el que pueden deslizar sin rozamiento. El peso de estas barras es despreciable en comparación con el peso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P} de un disco homogéneo de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} que se apoya sin rozamiento sobre las barras, manteniéndose todo el sistema en un plano vertical (ver figura). Se pide:

1. Desvincular el sistema de sólidos y representar los correspondientes "diagramas de sólido libre".
2. Las reacciones vinculares en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} para la posición de equilibrio.
3. La ecuación que determina la posición de equilibrio. ¿Que relación debe existir entre el radio del disco y la longitud de las barras para que el sistema esté en equilibrio en la posición correspondiente a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta_{\mathrm{eq}}=\pi/4} ?

Solución

Diagramas de sólido libre

La figura muestra las fuerzas que actúan sobre cada uno de los sólidos del problema. Como todos los contactos son lisos las fuerzas de reacción son perpendiculares a las superficies de contacto. Hemos añadido una fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}} sobre el sólido "2" que representa el soporte que sostiene a todo el conjunto. Del principio de acción y reacción se deducen las siguientes igualdades entre las fuerzas de reacción vincular

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{c} \vec{\Phi}^B_{01}+\vec{\Phi}^B_{10}=0,\quad \vec{\Phi}^E_{02}+\vec{\Phi}^E_{20}=0,\quad \vec{\Phi}^A_{03}+\vec{\Phi}^A_{30}=0,\\ \\ \vec{\Phi}^C_{31}+\vec{\Phi}^C_{13}=0,\quad \vec{\Phi}^D_{32}+\vec{\Phi}^D_{23}=0 \end{array} }

Señalemos que no sabemos a priori las direcciones de las fuerzas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}^A_{03}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}^A_{30}} , pues no se puede definir una normal en la articulación. Sin embargo, el sistema tiene simetría especular respecto a la línea de puntos indicada. Entonces las fuerzas deben tener esa misma simetría. La única manera de que esto se cumpla es que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}^A_{03}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}^A_{30}} sean horizontales.

Reacciones vinculares en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{B}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{C}}

La ligadura en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} y en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} prohíbe los desplazamientos verticales. Las fuerzas de reacción vincular son por tanto verticales, pues al no haber rozamiento no hay componente horizontal. Por la simetría del problema, estas dos fuerzas deben ser iguales, es decir

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}^B_{01}=\vec{\Phi}^C_{31} }

Para encontrar cuanto valen vamos a considerar el sólido conjunto "0+2+3". Las fuerzas externas sobre este sólido son el peso aplicado en el disco y las dos fuerzas de reacción vincular buscadas, como se indica en la figura. La resultante de estas tres fuerzas debe ser nula. Aplicando que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}^B_{01}=\vec{\Phi}^C_{31}} tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{P}+\vec{\Phi}^B_{01} + \vec{\Phi}^C_{31} = \vec{0} \Longrightarrow \vec{P}+2\vec{\Phi}^B_{01} = \vec{0} }

Finalmente tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}^B_{01} = \vec{\Phi}^C_{31} = -\dfrac{1}{2}\vec{P} }

Ecuación de equilibrio para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \boldsymbol{\theta}}

Aplicamos la condición de que el momento resultante de las fuerzas que actúan sobre el sólido "3" respecto de cualquier punto debe ser nulo. Escogemos el punto "A" para calcular el momento, pues de este modo nos quitamos de en medio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}^A_{30}} . La fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}^C_{31}} está aplicada en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} y la fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}^D_{32}} se aplica en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D} , el punto de contacto entre el disco y la barra. La distancia entre este punto y la articulación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} depende del ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} . De la figura vemos que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \tan\theta = \dfrac{R}{d} }

El momento resultante respecto al punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} del sistema de fuerzas actuando sobre la barra es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AD}\times\vec{\Phi}^D_{32}+\overrightarrow{AC}\times\vec{\Phi}^C_{31}=\vec{0} }

De la figura vemos que ambos momentos son perpendiculares al plano y de sentidos opuestos. Así pues, para que el momento total sea nulo los módulos debes ser iguales.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} |\overrightarrow{AD}\times\vec{\Phi}^D_{32}| = |\overrightarrow{AD}|\,|\vec{\Phi}^D_{32}| =d\,|\vec{\Phi}^D_{32}| \\ \\ |\overrightarrow{AC}\times\vec{\Phi}^C_{31}|= L\,|\vec{\Phi}^C_{31}| \,\mathrm{sen}\,\theta \end{array} }

En el primer apartado vimos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}^C_{31}=-\vec{P}/2} . Tenemos que determinar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{\Phi}^D_{32}|} . Para ello aplicamos que la suma de fuerzas sobre el sólido "2" debe ser cero. Por simetría Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{\Phi}^E_{20}|=|\vec{\Phi}^D_{23}|} . Por tanto, para que se anule la componente vertical debe ocurrir que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2|\vec{\Phi}^D_{23}|\,\mathrm{sen}\, \theta=P\Longrightarrow |\vec{\Phi}^D_{23}|=|\vec{\Phi}^D_{32}|=\dfrac{P}{2\,\mathrm{sen}\,\theta} }

Introduciendo esto en la expresión anterior llegamos a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d\,|\vec{\Phi}^D_{32}|= L\,|\vec{\Phi}^C_{31}| \,\mathrm{sen}\,\theta\Longrightarrow d=L\,\mathrm{sen}\,^2\theta }

La condición para el valor de equilibrio del ángulo es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{R}{L}=\,\mathrm{sen}\,^2\theta\tan\theta }

En el caso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=\pi/4} se obtiene la relación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R=L/2 }

Resolución alternativa

Este valor de equilibrio puede calcularse a partir del teorema de las tres fuerzas. Como hemos dicho en el primer apartado, por razones de simetría la fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}^A_{30}} es horizontal. Las rectas soporte de las tres fuerzas que actúan sobre el sólido "3" deben cruzarse en un punto. Observando el dibujo adjunto vemos que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \cos\alpha=\,\mathrm{sen}\,\theta=\dfrac{d}{L\,\mathrm{sen}\,\theta}\Longrightarrow d=L\,\mathrm{sen}\,^2\theta\\ \\ \tan\theta=\dfrac{R}{d}\Longrightarrow d=\dfrac{R}{\tan\theta} \end{array} }

Podemos observar que reobtenemos el valor de equilibrio de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} .