Enunciado
Un ascensor puede llevar una carga máxima de 1000 kg (incluyendo su propia masa). Está suspendido de un cable de acero de 3.00 cm de diámetro y 300 m de longitud cuando está completamente desenrollado. La aceleración máxima del ascensor es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1.50\,\mathrm{m/s^2}} . Si el aumento máximo de longitud del cable es de 3.00 cm ¿es seguro montarse en el ascensor? Dato: Módulo de Young del acero: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y = 2.00\times10^{11}\,\mathrm{N/m^2}} .
Solución
El ascensor trabaja sometido a la tensión del cable y a su peso. Si consideramos el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Z } dirigido hacia arriba, cuando el ascensor está subiendo tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\,\vec{a} = \vec{T} + m\vec{g} \Longrightarrow ma = T - mg }
La tensión en el cable es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = m\,(g+a) }
Cuando la aceleración es máxima, la tensión en el cable es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_{max} = 11.3\,\mathrm{kN} }
Para esta tensión, el alargamiento que sufre el cable depende del módulo de Young. Tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\Delta L}{L} = \dfrac{1}{Y}\,\dfrac{T}{A} }
La sección del cable es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A = \pi\,D^2/4 } . La elongación del cable cuando la aceleración es máxima es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta L = \dfrac{4LT}{\pi YD^2} = 2.40\,\mathrm{cm} }
Esta elongación es menor que la que puede soportar el cable, por lo que en principio el ascensor es seguro. Sin embargo, no está muy lejos del valor crítico, por lo que sería aconsejable estudiar el cable con más cuidado.
