Test de la 1ª convocatoria CMR 2017-2018

Plato en rotación

El plato de un microondas es un disco de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} ("sólido 2"), que gira con velocidad angular $\Omega {\vec {k}}$ alrededor de su eje $OZ_{1}$. Para que no roce con la caja, se apoya sobre tres ruedecillas de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r} (siendo una de ellas el sólido “3”), montadas sobre un aro de plástico también de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} . El contacto del plato con las ruedecillas y de éstas con el suelo del horno es de rodadura sin deslizamiento. Se toma un sistema de ejes en el que el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_0} es el eje del plato y el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0} el horizontal que pasa por el centro de la ruedecilla “3”.

Pregunta 1

¿Cuál es la velocidad angular, respecto al suelo, del aro donde van montados las ruedecillas?

• A Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{0}} .
• B Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega\vec{k}_0} .
• C Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\Omega/2) \vec{k}_0} .
• D Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\Omega\vec{k}_0} .

Solución

La respuesta correcta es la C.

Puesto que la ruedecilla rueda sin deslizar sobre el disco, la velocidad del punto B, de contacto con el disco, es la misma que la del disco en ese punto

La velocidad del punto A, de contacto con el suelo, es nula, por estar rodando también sin deslizar

El centro del disco C, situado en el punto medio entre A y B, posee una velocidad que es la media de estas dos. O dicho de otra manera, el punto superior de una rueda se mueve al doble de velocidad que el centro

Este punto también pertenece al sólido 0 y por tanto la velocidad angular del aro es la mitad que la del disco

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}=\frac{v^C_{01}}{R}\vec{k}_0=\frac{\Omega}{2}\vec{k}}

Pregunta 2

¿Cuánto vale la velocidad angular de la ruedecilla respecto a su eje, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0} ?

• A Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega\vec{\imath}} .
• B Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\Omega R/r) \vec{\imath}} .
• C Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -(\Omega R/2r) \vec{\imath}} .
• D Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Omega\vec{k}} .

Solución

La respuesta correcta es la C.

Respecto al sólido 1, el punto C avanza con velocidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^C_{31}=\frac{\Omega R}{2}\vec{\jmath}}

y el punto A está inmóvil

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{31}=\vec{0}}

Respecto al sólido 0, el punto C estará inmóvil, mientras que A retrocede con velocidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^A_{30}=-\frac{\Omega R}{2}\vec{\jmath}}

y al estar C en el eje de rotación de este movimiento

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\frac{\Omega R}{2}\vec{\jmath}=\vec{v}^A_{30}=\vec{\omega}_{30}\times\overrightarrow{CA}=(\omega_{30}\vec{\imath}_0)\times(-r\vec{k}_0)=\omega_{30}r\vec{\jmath}}

por lo que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{30}=-\frac{\Omega R}{2r}\vec{\imath}_0}

Fuerza central

Una partícula se mueve sobre el espacio sometida exclusivamente a la acción de una fuerza central con centro O, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}=f(|\vec{r}|)\vec{u}_r} . ¿Cuál de las siguientes cantidades no es una constante de movimiento?

• A La energía mecánica
• B El momento cinético respecto a O, el origen de coordenadas.
• C La cantidad de movimiento.
• D La masa de la partícula.

Solución

La respuesta correcta es la C.

Por la segunda ley de Newton

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=\vec{F}}

Por tanto, si hay una fuerza actuando sobre la partícula, su cantidad de movimiento no es constante.

Sistema de tres fuerzas

Un sólido está sometido al sistema de tres fuerzas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_A=F_0 \vec{\jmath} } aplicada en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_B=F_0 \vec{k}} aplicada en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OB}=b\vec{\jmath}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_C=F_0 \vec{\imath}} aplicada en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OC}=b\vec{k}} . Este sistema de fuerzas es equivalente a…

• A un sistema nulo.
• B un par de fuerzas.
• C una fuerza única.
• D un tornillo.

Solución

La respuesta correcta es la D.

Aplicamos el esquema

La resultante del sistema no es nula:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}=\vec{F}_A+\vec{F}_B+\vec{F}_C=F_0(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k})}

Por tanto, no puede ser ni un sistema nulo ni un par de fuerzas.

Hallamos el momento respecto a O

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{M}_O=\overrightarrow{OA}\times\vec{F}_A+\overrightarrow{OB}\times\vec{F}_C+\overrightarrow{OC}\times\vec{F}_C=bF_0(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k})}

Este momento no es perpendicular a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}} (de hecho, es paralelo a la resultante). Por tanto, el sistema equivale a un tornillo.

Tensor de inercia

Un sólido está formado por dos masas iguales, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1=m_2=m} , unidas por una varilla sin masa. las dos partículas se hallan en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_1=4b\vec{\imath}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_2=b(\vec{\imath}+3\vec{\jmath}} ), respectivamente.

Pregunta 1

¿Cuánto vale su tensor de inercia respecto al triedro OXYZ?

• A Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar{\bar{I}}=mb^2\begin{pmatrix}9 & 0 & 0\\0 & 17 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end{pmatrix} }
• B Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar{\bar{I}}=mb^2\begin{pmatrix}9 & 3 & 0\\3 & 17 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end{pmatrix} }
• C Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar{\bar{I}}=mb^2\begin{pmatrix}17 & -3 & 0\\-3 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end{pmatrix} }
• D Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar{\bar{I}}=mb^2\begin{pmatrix}9 & -3 & 0\\-3 & 17 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end{pmatrix} }

Solución

La respuesta correcta es la D.

Los elementos diagonales del tensor de inercia son los momentos de inercia

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{xx}=\sum_i m_i(y_1^2+z_i^2)\qquad\qquad I_{yy}=\sum_i m_i(x_1^2+z_i^2)\qquad\qquad I_{zz}=\sum_i m_i(x_1^2+y_i^2)}

y los no diagonales son los productos de inercia cambiados de signo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{xy}=-\sum_i m_i x_iy_i\qquad\qquad I_{xz}=-\sum_i m_i x_iz_i\qquad\qquad I_{yz}=-\sum_i m_i y_iz_i}

Como solo tenemos dos masas, no hay problema en hallar cada elemento, pero comparando los resultados propuesto basta con hallar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{xx}} e Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{xy}}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{xx} = m(0+0)+m(3b)^2 = 9mb^2\qquad\qquad I_{xy}=-m(4b)0-mb(3b)=-3mb^2}

y vemos que la correcta es la D.

Pregunta 2

¿Cuál de los siguientes es un eje principal de inercia de este sólido respecto al punto O?

• A OX
• B La recta que pasa por O y lleva la dirección de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3\vec{\imath}+\vec{\jmath}}
• C La recta que pasa por O y lleva la dirección de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\vec{\imath}+\vec{\jmath}}
• D La recta que pasa por O y lleva la dirección de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\imath}+\vec{\jmath}}

Solución

La respuesta correcta es la B.

Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{u}} va en la dirección d eun vector principal se cumple que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bar{\bar{I}}\cdot\vec{u}=I\vec{u}}

es decir el producto por el tensor de inercia produce un vector paralelo al original.

Aplicando esto a los diferentes vectores de las opciones resulta para la opción B

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle mb^2\begin{pmatrix}9 & -3 & 0\\-3 & 17 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} = mb^2 \begin{pmatrix} 24 \\ 8 \\ 0\end{pmatrix}= 8mb^2\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}}

por lo que ésta es una dirección principal, siendo el momento principal de inercia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 8mb^2} .

Vínculos entre dos masas

Un sistema está formado por dos masas iguales situadas sobre una superficie horizontal unidas por una varilla rígida de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} . La masa 2 puede deslizar sin rozamiento sobre la superficie mientras que la masa 1 está montada sobre una cuchilla ortogonal a la varilla. La cuchilla impide el movimiento perpendicular a su orientación.

¿Cuál de los siguientes no es un vínculo sobre el sistema?

• A Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x_2-x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2=b^2}
• B Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x_2-x_1 )\,\mathrm{d}x_1+(y_2-y_1 )\,\mathrm{d}y_1=0}
• C Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -(y_2-y_1 )\,\mathrm{d}x_1+(x_2-x_1 )\,\mathrm{d}y_1=0}
• D Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -(x_2-x_1 )\,\mathrm{d}x_1+(x_2-x_1 )\,\mathrm{d}x_2-(y_2-y_1 )\,\mathrm{d}y_1+(y_2-y_1 )\,\mathrm{d}y_2=0}

Solución

La respuesta correcta es la C.

Las dos masas están a una cierta distancia fijada, por lo que cumple el vínculo A

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x_2-x_1 )^2+(y_2-y_1 )^2=b^2\,}

Si hallamos la forma pfaffiana de este vínculo obtenemos la opción D

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0=(x_2-x_1 )\,(\mathrm{d}x_2-\mathrm{d}x_1)+(y_2-y_1 )(\mathrm{d}y_2-\mathrm{d}y_1)=-(x_2-x_1 )\,\mathrm{d}x_1+(x_2-x_1 )\,\mathrm{d}x_2-(y_2-y_1 )\,\mathrm{d}y_1+(y_2-y_1 )\,\mathrm{d}y_2=0}

Por otro lado, el desplazamiento de la masa 1 debe ser perpendicular a la varilla

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0=\mathrm{d}\vec{r}_1\cdot(\vec{r}_2-\vec{r}_1)=\mathrm{d}x_1(x_2-x_1)+\mathrm{d}y_1(y_2-y_1)}

que es la opción B.

Masa en plano inclinado móvil

Se tiene un sistema plano formado por un bloque triangular de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1} , altura h e inclinación β sobre el cual se encuentra una masa m_2. Esta masa puede deslizar sin rozamiento sobre el bloque. Éste, a su vez, puede deslizar sin rozamiento sobre una superficie horizontal. Sea s la distancia de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2} al vértice superior del bloque y sea x la distancia horizontal del bloque a un punto fijo. Abreviamos C=cos⁡(β), S=sen⁡(β)

Pregunta 1

La lagrangiana de este sistema es, teniendo en cuenta que siempre se puede sumar una constante,…

• A Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal{L}=((m_1+m_2 )\dot{x}^2+2m_2\dot{x}\dot{s}C+m_2 \dot{s}^2 )/2+m_2 gsS}
• B Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal{L}=(m_1 \dot{x}^2+m_2 \dot{s}^2 )/2+m_2 gsS}
• C Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal{L}=((m_1+m_2 ) \dot{x}^2+m_2 \dot{s}^2 )/2-m_2 gsS}
• D Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathcal{L}=((m_1+m_2 ) \dot{x}^2+2m_2 \dot{x}\dot{s}C+m_2 \dot{s}^2 C^2 )/2-m_2 gsS}

Solución

La respuesta correcta es la A.

La energía cinética del bloque es simplemente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_b=\frac{1}{2}m_1\dot{x}^2}

La de la partícula es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_p=\frac{1}{2}m_2(\dot{x}_2^2+\dot{y}_2^2)}

siendo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_2=x+s\cos(\beta)=x+sC\qquad\Rightarrow\qquad \dot{x}_2=\dot{x}+\dot{s}C}

y

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_2=h-s\,\mathrm{sen}(\beta)=h-sS\qquad\Rightarrow\qquad \dot{y}_2=-\dot{s}S}

Sustituyendo nos queda la energía cinética total

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T=\frac{1}{2}m_1\dot{x}^2+\frac{1}{2}m_2(\dot{x}^2+2\dot{x}\dot{s}C+\dot{s}^2)=\frac{1}{2}((m_1+m_2)\dot{x}^2+2m_2\dot{x}\dot{s}C+m_2\dot{s}^2)}

Esto ya nos permite identificar la respuesta correcta. El último término corresponde a la energía potencial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U=m_2gy_2=m_2gh-m_2gsS = U_0-m_2gsS\,}

La constante se puede omitir, ya que desaparece al derivar para hallar las ecuaciones de Lagrange.

Pregunta 2

¿Cuánto valen las aceleraciones de las coordenadas x y s?

• A Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{x}=0,\quad \ddot{s}=gS}
• B Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{x}=-(m_2 SC)g/(m_1+m_2 S^2 ),\quad\ddot{s}=(m_1+m_2 )gS/(m_1+m_2 S^2 )}
• C Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{x}=-m_2g/(m_1+m_2 ), \quad \ddot{s}=(m_1 Sg/(m_1+m_2 )}
• D Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{x}=0, \quad \ddot{s}=m_1 Sg/(m_1+m_2 )}

Solución

La respuesta correcta es la C.

Hallamos las ecuaciones de movimiento a partir de las ecuaciones de Lagrange. Para x tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{x}}=(m_1+m_2)\dot{x}+m_2 \dot{s}C\qquad\qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=0}

lo que da

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=(m_1+m_2)\ddot{x}+m_2 \ddot{s}C=0}

Para s tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{s}}=m_2 \dot{x}C+m_2\dot{s}\qquad\qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial s}=m_2gS}

lo que da

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{s}}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial s}=m_2 \ddot{x}C+m_2\ddot{s}-m_2gS=0}

De la primera despejamos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{x}}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{x}=-\frac{m_2C}{m_1+m_2}\ddot{s}}

y sustituimos en la segunda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\frac{m_2C}{m_1+m_2}C\ddot{s}+\ddot{s}=gS\qquad\Rightarrow\qquad \ddot{s}=\frac{(m_1+m_2)gS}{m_1+m_2S^2}}

Para x queda la aceleración

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{x}=-\frac{m_2C}{m_1+m_2}\ddot{s}=-\frac{m_2SCg}{m_1+m_2S^2}}

Cuando la masa desciende se conserva la cantidad de movimiento horizontal, por lo que si la masa va hacia la derecha, el bloque debe acelerarse hacia la izquierda.