Oscilaciones amortiguadas y forzadas (CMR)

Oscilaciones amortiguadas

El oscilador no amortiguado

En otras secciones se estudia la cinemática y la dinámica del oscilador armónico. Éste es un sistema ideal gobernado por la ley de Hooke. Típicamente esta ley se aplica a resortes mecánicos, aunque puede generalizarse a muchas otras situaciones. En el caso de un resorte que oscila en una sola dimensión la ley de Hooke se escribe

$F=-kx\,$

siendo $x$ la elongación del resorte (distancia respecto a la posición de equilibrio)

Una partícula sometida exclusivamente a la ley de Hooke en una dimensión cumple la ecuación de movimiento

$ma=-kx\qquad \rightarrow \qquad a={\ddot {x}}=-{\frac {k}{m}}x$

Este es un caso particular de la ecuación para un movimiento armónico simple

${\ddot {=}}-\omega _{0}^{2}x$

siendo en este caso la frecuencia natural

$\omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

La solución general de esta ecuación diferencial es una oscilación sinusoidal

$x(t)=A\cos(\omega _{0}t+\varphi )\,$

con $A$ la amplitud de las oscilaciones, $\varphi$ la fase inicial o constante de fase. Este movimiento es periódico, de forma que

$x(t+T)=x(t)\qquad \qquad T={\frac {2\pi }{\omega }}$

Esta solución también se puede escribir como una combinación lineal de un seno y un coseno

$x(t)=b_{1}\cos(\omega _{0}t)+b_{2}\,\mathrm {sen} (\omega _{0}t)$

con

$b_{1}=A\cos(\varphi )\qquad \qquad b_{2}=-A\,\mathrm {sen} (\varphi )$

Los valores de las constantes $b_{1}$ y $b_{2}$ pueden calcularse también a partir de las condiciones iniciales del movimiento

$b_{1}=x_{0}=x(t=0)\qquad \qquad b_{2}={\frac {v_{0}}{\omega _{0}}}={\frac {v(t=0)}{\omega _{0}}}$

Amortiguamiento

El modelo de un oscilador mecánico sometido exclusivamente a la ley de Hooke no es realista pues desprecia la presencia del rozamiento. La experiencia nos muestra que un oscilador se va frenando progresivamente hasta llegar a detenerse en la posición de equilibrio.

Esta disminución progresiva en la amplitud de las oscilaciones es debida a la presencia de rozamiento. Éste puede deberse a un roce con una superficie (rozamiento seco) o la fricción del aire o líquido que rodea al oscilador (rozamiento viscoso).

El caso del oscilador con rozamiento seco tiene un interesante análisis físico-matenático, pero no lo consideraremos aquí, sino en un problema. En su lugar nos centraremos en el caso del rozamiento viscoso. La razón es que, aparte de ser un modelo de muchas aplicaciones, representa más adecuadamente lo que ocurre en un amortiguador mecánico.

Un amortiguador es un dispositivo como el que puede encontrarse en la suspensión de un automóvil o en una puerta con cierre automático.

Un amortiguador consta de un resorte mecánico, pero también, en el interior de éste, de un cilindro con un pistón

Si un coche no tuviera suspensión (es decir, si el chasis estuviera unido rígidamente al eje de las ruedas), cada bache o irregularidad en el suelo se notaría como un golpe en el interior del vehículo lo cual, además de incómodo, pone en peligro su integridad. Por otro lado, si la suspensión consistiera simplemente en un resorte casi sin rozamiento, cada bache produciría oscilaciones en el coche, incluso mucho después de haber superado el bache.

Por ello, se introduce el amortiguador. El objetivo es que el coche oscile al pasar por el bache, pero lo menos posible, de forma que retorne a la posición de equilibro en el menor tiempo posible. Esto se consigue introduciendo una fricción viscosa que disipe la energía mecánica de la oscilación. En la práctica consiste en que un fluido es obligado a pasar por una serie de válvulas de un lado a otro del pistón, frenándolo en el proceso.

La fuerza de rozamiento que experimenta el resorte se opone siempre a la velocidad de éste (si la masa va hacia la derecha, la fuerza apunta hacia la izquierda y viceversa). En primera aproximación es proporcional a la velocidad (en reposo no hay fuerza de rozamiento), por lo que se puede escribir

${\vec {F}}=-\gamma {\vec {v}}$

y para el caso particular del movimiento rectilíneo

$F=-\gamma v=-\gamma {\dot {x}}$

Ecuación del oscilador amortiguado

La segunda ley de Newton para un oscilador armónico con amortiguamiento viscoso (en una dimensión) se escribe entonces

$ma=-kx-\gamma v\,$

Pasando todo al primer miembro

$ma+\gamma v+kx=0\,$

Aplicando que la velocidad y la aceleración son las primera y segunda derivadas respecto al tiempo de la elongación nos queda la ecuación diferencial

$m{\ddot {x}}+\gamma {\dot {x}}+kx=0$

Dividiendo por la masa de la partícula podemos escribirla como

${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0$

Esta es la ecuación diferencial del oscilador armónico amortiguado. La constante

$\omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

es la frecuencia propia del oscilador. Equivale a la frecuencia natural con la que oscilaría el resorte si no tuviera rozamiento. Como veremos, la presencia de rozamiento reduce la frecuencia de las oscilaciones.

La segunda constante

$\beta ={\frac {\gamma }{2m}}$

es la constante de amortiguamiento. Mide la magnitud de la fricción, siendo mayor cuanto más intensa sea ésta.

Tanto la frecuencia propia $\omega _{0}$ como la constante de amortiguamiento $\beta$ tienen dimensiones de inversa de un tiempo y se miden en s⁻¹ en el SI.

Solución de la ecuación

Caracterización de las soluciones

Antes de examinar la solución matemática de la ecuación diferencial, podemos describir como deberían ser las soluciones.

• Si el rozamiento es pequeño, debemos esperar que el resorte oscile pero con una amplitud decreciente, hasta que pasado un cierto tiempo se quede en reposo en la posición de equilibrio.

• Si el rozamiento es muy grande, en cambio, esperamos que no llegue a oscilar, sino que simplemente se va moviendo lentamente hasta la posición de equilibrio.

En física siempre que una magnitud se considera grande o pequeña hay que decir comparada con qué, cuál es el patrón en que nos basamos para decir si algo es grande o pequeño. En este caso aprovechamos que tanto $\beta$ como $\omega _{0}$ tienen las mismas dimensiones y por tanto se pueden comparar. Establecemos entonces el criterio

• Rozamiento débil: $\beta <\omega _{0}$
• Rozamiento intenso: $\beta >\omega _{0}$

La solución matemática debe reflejar por tanto un cambio de comportamiento dependiendo de como sea la constante de amortiguamiento comparada con la frecuencia propia.

Solución matemática

Debemos resolver la ecuación diferencial

${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0$

con ciertas condiciones iniciales

$x(t=0)=x_{0}\qquad \qquad {\dot {x}}(t=0)=v_{0}$

Esta ecuación diferencial es de las llamadas lineales (la elongación y sus derivadas no están elevadas a ninguna potencia). Para buscar una solución de una ecuación de este tipo proponemos una solución exponencial

$x=\mathrm {e} ^{\lambda t}\,$

Derivando esta función

${\dot {x}}=\lambda \mathrm {e} ^{\lambda t}\qquad \qquad {\ddot {x}}=\lambda ^{2}\mathrm {e} ^{\lambda t}$

y sustituyendo en la ecuación diferencial

$\left(\lambda ^{2}+2\beta \lambda +\omega _{0}^{2}\right)\mathrm {e} ^{\lambda t}=0$

Puesto que la exponencial nunca puede anularse debe cumplirse que

$\lambda ^{2}+2\beta \lambda +\omega _{0}^{2}=0\,$

Esta ya no es una ecuación diferencial. Es una ecuación de segundo grado cuyas soluciones nos dan los valores posibles de $\lambda$. Puesto que existen dos valores, la solución de la ecuación diferencial se escribe como la combinación

$x(t)=c_{1}\mathrm {e} ^{\lambda _{1}t}+c_{2}\mathrm {e} ^{\lambda _{2}t}$

donde $c_{1}$ y $c_{2}$ son dos constantes cuyos valores se calculan a partir de las condiciones iniciales.

Resolviendo la ecuación de segundo grado nos quedan las soluciones

$\lambda _{1}=-\beta +{\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}\qquad \qquad \lambda _{2}=-\beta -{\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}$

Vemos que, como se dijo antes, dependiendo del valor de $\beta$ hay tres posibilidades, dependiendo del signo de lo que hay dentro de la raíz cuadrada

• Si $\beta >\omega _{0}$ las dos soluciones son reales y diferentes (caso sobreamortiguado).
• Si $\beta =\omega _{0}$ existe una solución real doble (amortiguamiento crítico).
• Si $\beta <\omega _{0}$ las dos soluciones son complejas conjugadas (caso subamortiguado).

Cada uno de estos casos merece un estudio por separado.

Caso sobreamortiguado (β > ω₀)

Consideraremos en primer lugar el caso de rozamiento intenso

$\beta >\omega _{0}\,$

En este caso las dos raíces de la ecuación son reales y además negativas

$\lambda _{1}=-\beta +{\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}\qquad \qquad \lambda _{2}=-\beta -{\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}$

(para ver que la primera es negativa basta con observar que la raíz es menor que $\beta$). La solución de la ecuación diferencial es entonces una suma de dos exponenciales decrecientes

$x(t)=c_{1}\mathrm {e} ^{-|\lambda _{1}|t}+c_{2}\mathrm {e} ^{-|\lambda _{2}|t}$

Puesto que $|\lambda _{2}|>|\lambda _{1}|$ la segunda exponencial decae más rápidamente, y es la primera de las dos la que determina el tiempo en decaer.

Por dar un ejemplo numérico, supongamos que $\omega _{0}=1\,\mathrm {s} ^{-1}$ y que $\beta =1.25\,\mathrm {s} ^{-1}$. En ese caso resultan

$\lambda _{1}=-0.5\,\mathrm {s} ^{-1}\qquad \qquad \lambda _{1}=-2.0\,\mathrm {s} ^{-1}$

Esto quiere decir que la primera exponencial decae en un tiempo típico de 2 segundos (la inversa de $\lambda _{1}$) mientras que la segunda lo hace en medio segundo, por tanto al cabo de un segundo prácticamente ya solo tenemos la primera exponencial.

La solución completa es la combinación de las dos aunque rápidamente se asemeja mucho a la primera

El caso de esta figura representa la situación en que se tira del oscilador y se libera desde el reposo (siendo nula su velocidad inicial, lo que corresponde a una tangente horizontal). El resorte tiende lentamente a la posición de equilibrio.

El que la solución sea una combinación de exponenciales decrecientes no quiere decir que la solución sea decreciente en todo instante. Por ejemplo, imaginemos el caso de un muelle que es golpeado en la posición de equilibrio. La masa se aleja originalmente de la posición de equilibrio, para luego retornar lentamente a ella.

Caso subamortiguado (β < ω₀)

El caso opuesto al anterior lo obtenemos cuando el rozamiento es débil (incluyendo el caso en que no hay rozamiento).

Si llamamos

$\omega ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\beta ^{2}}}$

podemos escribir las dos soluciones de la ecuación de segundo grado como complejos conjugados

$\lambda _{1}=-\beta +\mathrm {j} \omega \qquad \qquad \lambda _{2}=-\beta -\mathrm {j} \omega \,$

siendo $\mathrm {j} ={\sqrt {-1}}$ la unidad imaginaria. La solución general de la ecuación diferencial queda entonces

$x(t)=c_{1}\mathrm {e} ^{(-\beta +\mathrm {j} \omega )t}+c_{2}\mathrm {e} ^{(-\beta -\mathrm {j} \omega )t}\,$

Aquí podemos extraer como factor común la parte real de la exponencial y escribir

$x(t)=\mathrm {e} ^{-\beta t}\left(c_{1}\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}+c_{2}\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} \omega t}\right)$

Para ver que esta solución representa oscilaciones amortiguadas aplicamos la fórmula de Euler

$\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}=\cos(\omega t)+\mathrm {j} \,\mathrm {sen} (\omega t)$

que transforma la solución en

$x(t)=\mathrm {e} ^{-\beta t}\left(b_{1}\cos(\omega t)+b_{2}\,\mathrm {sen} (\omega t)\right)$

con

$b_{1}=c_{1}+c_{2}\qquad \qquad b_{2}=\mathrm {j} (c_{1}-c_{2})$

Esta combinación de senos y cosenos puede reducirse a uno solo, como se hace el caso del oscilador sin rozamiento, y escribir la solución en la forma

$x(t)=A_{0}\mathrm {e} ^{-\beta t}\cos(\omega t+\varphi )$

Podemos leer esta solución como una oscilación sinusoidal

$x(t)=A(t)\cos(\omega t+\varphi )$

con una amplitud que decae exponencialmente

$A(t)=A_{0}\mathrm {e} ^{-\beta t}\,$

Este comportamiento se dice cuasiperiódico, porque no llega a repetirse (al completar una oscilación no se encuentra en la misma posición que al iniciarla). El cuasiperiodo es mayor que el del oscilador sin rozamiento

$\omega <\omega _{0}\qquad \Rightarrow \qquad T={\frac {2\pi }{\omega }}>{\frac {2\pi }{\omega _{0}}}=T_{0}$

El tiempo que tarda en decaer la amplitud no los da el factor de decaimiento $\beta$. En un tiempo

$\tau ={\frac {1}{\beta }}$

la amplitud se reduce en un factor e (a un 36.8% de la que tuviera). Tenemos entonces dos escalas de tiempo: $T_{0}$ nos mide el tiempo que tarda en oscilar, $\tau$ el tiempo que tarda en amortiguarse. El cociente adimensional

${\frac {\tau }{T_{0}}}={\frac {\omega _{0}}{2\pi \beta }}$

nos mide la importancia del amortiguamiento pues nos da el número de oscilaciones en un tiempo típico de decaimiento. Si este número es grande quiere decir que el oscilador es muy poco amortiguado.

Comparando las oscilaciones con y sin rozamiento vemos que si éste es pequeño se nota un cambio apreciable en la amplitud, pero muy pequeño en el peridoo

Si el rozamiento es grande, de forma que $\beta \simeq \omega _{0}$ el decaimiento es muy importante y el periodo de oscilación es tan largo que prácticamente la partícula no llega a realizar ninguna oscilación.

En el ejemplo de la figura ($\beta =0.9\omega _{0}$) el primer mínimo está por debajo del eje solo -0.0006m y es inapreciable en la gráfica.

Amortiguamiento crítico (β = ω₀)

El tercer caso es uno particular que se da muy raramente, ya que requiere unos valores concretos de los parámetros. Para el caso del muelle con rozamiento debe cumplirse

$\beta =\omega _{0}\qquad \Rightarrow \qquad {\frac {\gamma }{2m}}={\sqrt {\frac {k}{m}}}\qquad \Rightarrow \qquad \gamma =2{\sqrt {km}}$

La constante de rozamiento debe tener este valor exacto. Si es un poco mayor ya el movimiento es sobreamortiaguado; si es un poco menor, subamortiguado.

En el caso del amortiguamiento crítico, puede demostrarse que la solución es de la forma

$x(t)=(c_{1}+c_{2}t)\mathrm {e} ^{-\beta t}\,$

Gráficamente esta función presenta un decaimiento exponencial, similar al caso sobreamortiguado.

El amortiguamiento crítico posee una propiedad que lo hace interesante desde el punto de vista técnico: es el caso en que se retorna más rápidamente a la posición de equilibrio. Si la fricción es menor, el oscilador va y viene y tarda más en pararse. Si es mayor, la fuerte fricción ralentiza el movimiento y tarda también más en pararse. El tiempo típico de parada en el caso subamortiguado es

$\tau ={\frac {1}{\beta }}$

y en el sobreamortiguado

$\tau ={\frac {1}{|\lambda _{1}|}}={\frac {1}{\beta -{\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}}}$

Representando este tiempo como función de $\beta$ para una frecuencia propia fijada de 1 s⁻¹ vemos como efectivamente es mínimo cuando se da el amortiguamiento crítico.

Por ello, los amortiguadores de los automóviles y demás maquinaria procuran ajustarse al valor crítico, ya que de esta forma se consigue el objetivo de detener las vibraciones en el menor tiempo posible.

Comparación de los tres casos

Supongamos, como ejemplo, una frecuencia propia de 1\,rad/s y que las condiciones iniciales son que liberamos la partícula desde una cierta distancia de 10 cm, es decir $x_{0}=0.1\,\mathrm {m}$ y $v_{0}=0\,\mathrm {m} /\mathrm {s}$. Comparando los caso de $\beta =0.5\mathrm {s} ^{-1}$, $\beta =1.0\mathrm {s} ^{-1}$, y $\beta =1.5\mathrm {s} ^{-1}$ obtenemos las curvas siguientes:

Vemos como la crítica y la sobreamortiguada decaen siendo la crítica más rápida en hacerlo, mientras que la subamortiguada presenta oscilaciones rápidamente decrecientes.

Si consideramos el caso de una masa que parte del equilibrio, pero con una cierta velocidad de 1m/s (es decir $x_{0}=0\,\mathrm {m}$, $v_{0}=1\,\mathrm {m} /\mathrm {s}$ obtenemos para los mismos valores

En este caso las curvas no se limitan a decaer, pues hay un alejamiento inicial. La partícula termina volviendo a la posición de equilibrio, siendo el camino más rápido el del amortiguamiento crítico. Vemos también que aunque en todos los casos parte con la misma velocidad el máximo alejamiento es menor cuanto mayor sea el rozamiento.

Energía en un oscilador amortiguado

Una de las consecuencias del amortiguamiento es la disipación de energía mecánica. De acuerdo con el teorema de las fuerzas vivas

${\frac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}=P=P_{\mathrm {c} }+P_{\mathrm {nc} }$

siendo $K$ la energía cinética

$K={\frac {1}{2}}mv^{2}$

y $P_{c}$ la potencia de las fuerzas conservativas (la elástica, en este caso) y $P_{nc}$ la de las no conservativas (que sería la de rozamiento). La potencia de las fuerzas conservativas verifica

$P_{\mathrm {c} }=-{\frac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} t}}$

con $U$ la energía potencial elástica

$U={\frac {1}{2}}kx^{2}$

Pasando la energía potencial al primer miembro obtenemos la energía mecánica

${\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}(K+U)=P_{\mathrm {nc} }$

La potencia de las fuerzas no conservativas la calculamos multiplicando la fuerza por la velocidad

$P_{\mathrm {nc} }=F_{r}v=-\gamma v^{2}\,$

de forma que nos queda la relación

${\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {1}{2}}mv^{2}+{\frac {1}{2}}kx^{2}\right)=-\gamma v^{2}$

Puesto que el segundo miembro es siempre negativo, esta ecuación nos dice que la energía mecánica se va disipando progresivamente, aunque no a ritmo uniforme: el consumo es mayor cuando lo es la rapidez del movimiento.

En el caso del amortiguamiento muy débil, si representamos la energía mecánica en una curva de potencial vemos como la energía mecánica va descendiendo a medida que la partícula va y viene

Si realizamos gráficas equivalentes para los ejemplos anteriores vemos un decaimiento muy rápido de la energía. Puesto que en el caso crítico y el sobreamortiguado no llega a realizar una oscilación completa, lo que vemos es que la curva de energía "cae en picado", siendo la disipación tanto más rápida cuanto mayor es la constante de amortiguamiento.

    

Oscilaciones forzadas

Introducción

Un oscilador armónico amortiguado es aquel que, en adición a la fuerza recuperadora dada por la ley de Hooke, experimenta una fuerza de rozamiento viscoso proporcional a la velocidad.

$m{\vec {v}}=-k{\vec {r}}-\gamma {\vec {v}}\,$

Si este oscilador se mueve a lo largo de una recta, la segunda ley de Newton se reduce a

$ma=-kx-\gamma v\,$

donde $x$ es la elongación (distancia a la posición de equilibrio dada por la longitud natural).

Si este oscilador amortiguado se encuentra sometido a una fuerza externa adicional, en general dependiente del tiempo, se dice que el oscilador está forzado, siendo su ecuación de movimiento

$ma=-kx-\gamma v+F(t)\,$

De entre los posibles tipos de fuerza que se pueden aplicar, la más importante desde el punto de vista físico, es aquella que en sí misma es oscilante, esto es

$ma=-kx-\gamma v+F_{0}\cos(\omega t)\,$

donde la frecuencia de oscilación de la fuerza no tiene por qué coincidir con la frecuencia propia del oscilador armónico

$\omega \neq \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

El caso de una fuerza constante

El caso más sencillo de un oscilador forzado sería aquél sometido a una fuerza que no depende del tiempo $F=F_{0}$ ($\omega =0$). Este sería el caso de un muelle que cuelga verticalmente y del cual se cuelga una masa $m$, siendo su ecuación de movimiento

$m{\ddot {z}}+\gamma {\dot {z}}+kz=-mg$

Solución estacionaria

La solución en este caso es fácil de imaginar. Si de una balanza colgamos 1kg de plátanos, el muelle se estira y en el estado final se queda en reposo en una posición $z_{s}$ inferior a la inicial. En este estado equilibrio, al ser constante, las derivadas respecto al tiempo se anulan y nos queda

$z=z_{\mathrm {s} }\qquad {\dot {z}}=0\qquad {\ddot {z}}=0$

y sustituyendo obtenemos la posición de equilibrio

$m\cdot 0+\gamma \cdot 0+kz_{s}=-mg\qquad \Rightarrow \qquad z_{s}=-{\frac {mg}{k}}$

Esta estado estacionario es independiente de las condiciones iniciales. Ni la posición inicial ni la velocidad inicial aparecen en su expresión.

Solución transitoria

En el ejemplo de los plátanos que se cuelgan de la balanza, la experiencia nos muestra que la posición final no se alcanza instantáneamente, sino que la balanza oscila unas cuantas veces antes de detenerse. Se dice entonces que tenemos un proceso transitorio que representa el paso desde el estado inicial hasta el final.

Para describir matemáticamente el estado transitorio introducimos como variable la diferencia entre la posición instantánea y la de equilibrio

$s=z-z_{s}\qquad \Rightarrow \qquad z=s+z_{s}$

Teniendo en cuenta que la solución estacionaria es una de equilibrio

${\dot {z}}={\dot {s}}+{\dot {z}}_{s}={\dot {s}}\qquad \qquad {\ddot {z}}={\ddot {s}}+{\ddot {z}}_{s}={\ddot {s}}$

y sustituyendo en la ecuación del oscilador forzado queda

$m{\ddot {s}}+\gamma {\dot {s}}+ks+kz_{s}=-mg$

pero $kz_{s}=-mg$ así que esto se reduce a

$m{\ddot {s}}+\gamma {\dot {s}}+ks=0$

que es la ecuación del oscilador armónico amortiguado. Dependiendo del grado de amortiguamiento podemos tener un caso subamortiguado, crítico o sobreamortiguado. En cualquiera de los tres casos el comportamiento general es el mismo: la solución decae exponencialmente a cero. Este estado transitorio sí depende de las condiciones iniciales, que determinan las constantes de la solución.

Superposición

Según esto, la solución de un oscilador forzado se compone de dos partes:

$z(t)=z_{s}(t)+z_{t}(t)\,$

• Un estado transitorio inicial, $z_{t}(t)$, que depende de las condiciones iniciales y que decae exponencialmente.
• Un estado estacionario final, $z_{s}(t)$, que solo depende de la fuerza aplicada y no del estado inicial.

Este mismo principio se aplica al caso de que tengamos una fuerza oscilante en lugar de una constante.

Caso de una fuerza sinusoidal

Consideraremos ahora el caso de que la fuerza aplicada oscile sinusoidalmente.

$F(t)=F_{0}\cos(\omega t)\,$

Este caso contiene el anterior en el límite $\omega \to 0$.

Si escribimos la ecuación de movimiento expresando la velocidad y la aceleración como derivadas de la posición nos queda la ecuación

$m{\ddot {x}}+\gamma {\dot {x}}+kx=F_{0}\cos(\omega t)$

Dividiendo por la masa podemos escribirla empleando los parámetros definidos al estudiar las oscilaciones amortiguadas

${\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {F_{0}}{m}}\cos(\omega t)$

donde

$\beta ={\frac {\gamma }{2m}}\qquad \qquad \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

El problema general consiste en determinar la elongación como función del tiempo, $x(t)$ para una posición y velocidad iniciales.

Como en el caso de una fuerza constante, la solución se puede escribir como suma de dos, una estacionaria y una transitoria, con la diferencia de que el estado estacionario ahora no es de reposo, sino de movimiento.

Cuando se aplica una fuerza oscilante a una masa atada a un muelle, el resultado es que la masa oscila. Lo hace además con la frecuencia de la señal aplicada. La solución puede escribirse entonces en la forma

$x=A\,\cos(\omega t+\varphi )$

siendo la amplitud de las oscilaciones y $\varphi$ el desfase con la fuerza aplicada (que no tiene por qué ser nulo; el que oscile con la misma frecuencia no quiere decir que esté sincronizado, puede ocurrir que cuando la fuerza sea máxima el desplazamiento sea nulo, por ejemplo). La amplitud y el desfase pueden cambiar mucho según sea la frecuencia de la fuerza aplicada, aunque esta sea siempre de la misma intensidad

Esto quiere decir que para conseguir una amplitud mayor no necesitamos aplicar una fuerza más intensa. Basta con elegir adecuadamente la frecuencia de su variación. Nuestro objetivo se reduce entonces a determinar $A$ y $\varphi$ como funciones de la intensidad de la fuerza aplicada y de su frecuencia.

La forma más sencilla de determinar estas constantes es mediante el uso de fasores. La fuerza aplicada puede escribirse, con ayuda de la fórmula de Euler, como

$F(t)=F_{0}\cos(\omega t)=\mathrm {Re} \left({\hat {F}}\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}\right)$

donde

${\hat {F}}=F_{0}$

es el fasor, o amplitud compleja, de la fuerza. Es una cantidad compleja cuyo módulo nos da la amplitud de las oscilaciones ($F_{0}$ en este caso) y cuyo argumento nos da el desfase (nulo, en este caso).

En la solución estacionaria sinusoidal, la elongación admite una expresión análoga

$x(t)=A\cos(\omega t+\varphi )=\mathrm {Re} \left({\hat {x}}\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}\right)$

donde ahora

${\hat {x}}=A\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \varphi }\,$

Este fasor es una constante compleja contiene tanto la amplitud como la constante de fase de la solución, por lo que si determinamos el fasor, ya hemos resuelto nuestro problema.

La ventaja de usar fasores es que transforma las derivadas en multiplicaciones. La velocidad y la aceleración pueden expresarse también en forma fasorial, siendo sus amplitudes complejas

${\hat {v}}=\mathrm {j} \omega {\hat {x}}$    ${\hat {a}}=(\mathrm {j} \omega )^{2}{\hat {x}}=-\omega ^{2}{\hat {x}}$

Puesto que en la ecuación de movimiento

$a+2\beta v+\omega _{0}^{2}x={\frac {F_{0}}{m}}\cos(\omega t)\,$

todas las cantidades ($F$, $x$, $v$ y $a$) oscilan con la misma frecuencia, podemos escribirla como una relación entre fasores

${\hat {a}}+2\beta {\hat {v}}+\omega _{0}^{2}{\hat {x}}={\frac {\hat {F}}{m}}$

Sustituyendo los fasores de la velocidad y la aceleración nos queda

$-\omega ^{2}{\hat {x}}+2\mathrm {j} \beta \omega {\hat {x}}+\omega _{0}^{2}{\hat {x}}={\frac {\hat {F}}{m}}$

Esta es una ecuación algebraica de la cual es inmediato despejar el fasor de la elongación

${\hat {x}}={\frac {{\hat {F}}/m}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})+2\mathrm {j} \omega \beta }}$

Amplitud

La amplitud de las oscilaciones la hallamos como el módulo del fasor. A su vez, el módulo de un cociente de números complejos es el cociente de los módulos, por lo que

$A=\left|{\hat {x}}\right|={\frac {F_{0}/m}{\sqrt {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+4\beta ^{2}\omega ^{2})}}}$

Desfase

El desfase entre las oscilaciones de la elongación y la fuerza aplicada lo da el argumento del fasor

$\phi =\mathrm {arg} ({\hat {x}})=-\mathrm {arctg} \left({\frac {2\beta \omega b}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}\right)$

Dependencia con la frecuencia

Los fasores de la posición y de la velocidad (y por tanto sus amplitudes y desfases) son funciones de la frecuencia, lo cual quiere decir que la respuesta de un oscilador a una fuerza que varía sinusoidalmente no depende solo de la magnitud de la fuerza. Una fuerza pequeña puede tener un gran efecto, si la frecuencia es adecuada, o, por el contrario, una gran fuerza aplicada puede no tener efecto apreciable. Dependiendo del sistema que se esté estudiando, puede interesar una cosa o la otra. Así, para un receptor de radio, interesa que se amplifiquen las frecuencias de las señales de la frecuencia deseada, y no las del resto, esto se consigue ajustando principalmente dos parámetros, la frecuencia propia del oscilador y su coeficiente de amortiguamiento, definidos por

$\omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}$    $\beta ={\frac {b}{2m}}$

Amplitud

La amplitud de la elongación, en términos de la frecuencia propia y del factor de amortiguamiento queda en la forma

$A(\omega )={\frac {F_{0}/m}{\sqrt {(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+4\beta ^{2}\omega ^{2}}}}$

Bajas frecuencias

Cuando $\omega \to 0$, la amplitud de las oscilaciones tiende a

$A(\omega )\simeq {\frac {F_{0}/m}{\omega _{0}^{2}}}={\frac {F_{0}}{k}}\qquad (\omega \ll \omega _{0})$

que es el comportamiento que uno obtiene para una fuerza no oscilante, como el peso, para el cual la frecuencia sería estrictamente nula.

Altas frecuencias

Si $\omega \to \infty$ Para frecuencias altas la amplitud tiende a cero

$A(\omega )\simeq 0\qquad (\omega \gg \omega _{0})$

Esto quiere decir que si un oscilador lo excitamos mediante una fuerza cuya frecuencia sea mucho mayor que la propia del oscilador, éste prácticamente no se ve afectado.

Para valores intermedios de la frecuencia, de valor comparable a la frecuencia propia $\omega _{0}$, podemos tener un máximo de amplitud o no tenerlo dependiendo del grado de amortiguamiento. La amplitud es máxima cuando lo que hay dentro de la raíz del denominador es mínimo, lo cual ocurre para

$\omega _{\mathrm {max} }={\sqrt {\omega _{0}^{2}-2\beta ^{2}}}$

como se comprueba sin más que derivar el radicando e igualar a cero. Gráficamente obtenemos una curva con un máximo que es más agudo cuanto menor sea el coeficiente de amortiguamiento $\beta$. Para representarlo conviene emplear una escala logarítmica para las frecuencias ya que de esta forma se puede barrer un rango más amplio sin comprimir la gráfica.

    

Cuando existe este máximo (que puede ser muy destacado) se dice que el sistema posee una resonancia. Físicamente este resultado nos dice que ajustando la frecuencia de la fuerza aplicada podemos obtener una respuesta de gran amplitud (infinita en el caso sin rozamiento). Por ejemplo, para el caso $\beta =0.1\omega _{0}$ obtenemos que las amplitudes de las oscilaciones resultantes es 5 veces lo que se estira en el caso estático. La altura del máximo es

$A_{\mathrm {max} }={\frac {F_{0}/m}{2\beta {\sqrt {\omega _{0}^{2}-\beta ^{2}}}}}$

Para valores de $\beta$ pequeños la posición del máximo ocurre aproximadamente a la frecuencia propia (por lo que también se la llama frecuencia de resonancia) y la altura es inversamente proporcional al amortiguamiento

$\omega _{\mathrm {max} }\simeq \omega _{0}\qquad \qquad A_{\mathrm {max} }\simeq {\frac {F_{0}/m}{2\beta \omega _{0}}}\qquad \qquad (\beta \ll \omega _{0})$

Este efecto puede ser deseable (es la base de los sintonizadores de radio, por ejemplo), pero también puede ser indeseado. A menudo es la causa de los ruidos molestos que producen ordenadores y otros aparatos, por vibraciones de los ventiladores y otras partes móviles. La razón de que muchos de estos ruidos desaparezcan cuando se golpea el aparato es porque al hacerlo se modifica la frecuencia propia y el sistema deja de estar en una resonancia.

Una resonancia de gran amplitud puede tener efectos dramáticos, provocando la fractura de partes del sistema. El caso más famoso de este fenómeno es el colapso del puente de Tacoma Narrows en Washington (USA).

(vídeo de la catástrofe en Youtube).

Fase

El movimiento del oscilador no tiene por qué ir en fase con la fuerza. Es posible que para una frecuencia dada cuando la fuerza vaya hacia abajo la partícula se mueva hacia arriba (ya que la fuerza nos da la aceleración, pero no directamente la posición).

La diferencia de fase lo hallamos a partir del argumento del fasor. Usando la fórmula para el argumento de un cociente de números complejos

$\varphi =\mathrm {arg} ({\hat {x}})=\mathrm {arg} (F_{0}/m)-\mathrm {arg} \left((\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})+4\mathrm {j} \beta \omega \right)=-\mathrm {arctg} \left({\frac {2\beta \omega }{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}\right)$

Para frecuencias bajas ($\omega \to 0$) se obtiene desfase 0. Esto corresponde a que si la fuerza es constante en un sentido (por ejemplo, el peso, hacia abajo), el resultado es un desplzamiento constante en el mismo sentido. Justo en la resonancia el desfase es de $\pi /2$, es decir, cuando la fuerza es máxima el desplazamiento es nulo y viceversa. Para frecuencias grandes el desfase tiende a $\pi$ lo que implica que el desplazamiento va en sentido contrario a la fuerza.

Velocidad

A menudo es más interesante conocer la velocidad del oscilador forzado, más que su posición. La velocidad también se puede expresar en forma fasorial

$v(t)=V\cos(\omega t+\theta )=\mathrm {Re} \left({\hat {v}}\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \omega t}\right)\qquad \qquad {\hat {v}}=V\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \theta }$

Obtenemos el fasor de la velocidad multiplicando el de la elongación por $\mathrm {j} \omega$

${\hat {v}}=\mathrm {j} \omega {\hat {x}}={\frac {\mathrm {j} \omega {\hat {F}}/m}{(\omega _{0}-\omega ^{2})+2\mathrm {j} \beta \omega }}$

Dividiendo en el numerador y el denominador por $\mathrm {j} \omega$

${\hat {v}}={\frac {{\hat {F}}/m}{2\beta +\mathrm {j} (\omega -\omega _{0}^{2}/\omega )}}$

Amplitud

La amplitud de las oscilaciones de la velocidad es

$V(\omega )=|{\hat {v}}|={\frac {F_{0}/m}{\sqrt {4\beta ^{2}+(\omega -\omega _{0}^{2}/\omega )^{2}}}}$

De nuevo tenemos una función dependiente de la frecuencia.

Bajas frecuencias

Cuando $\omega \to 0$, el término $\omega _{0}^{2}/\omega$ tiende a infinito y la amplitud se va a cero. Esto quiere decir que para una fuerza que varía muy lentamente, el oscilador se mueve muy lentamente, de forma que en todo momento está casi en la posición de equilibrio calculada anteriormente.

Altas frecuencias

Cuando $\omega \to \infty$, de nuevo el dernominador tiende a infinito y la amplitud se va de nuevo a cero. Esto quiere decir que para una fuerza que varía muy rápidamente, la inercia del oscilador le impide responder y este se limita a vibrar ligeramente alrededor de su posición de equilibrio $x=0$.

Resonancia

En la raíz que aparece en la amplitud hay una suma de dos términos positivos. El primero no se anula nunca, pero el segundo se hace cero si

$\omega ={\frac {\omega _{0}^{2}}{\omega }}$ ⇒ $\omega =\omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

esto es, si la frecuencia de la fuerza aplicada coincide con la frecuencia propia del oscilador, la amplitud de las oscilaciones en la velocidad es máxima. Vemos que, a diferencia de lo que ocurre con la elongación, el máximo en la amplitud de la velocidad está siempre centrado en la misma frecuencia (conocida como frecuencia de resonancia). El valor máximo de esta amplitud será

$V_{\mathrm {max} }=V(\omega _{0})={\frac {F_{0}}{\gamma }}$

que tiende a infinito cuando el rozamiento se hace nulo.

Si se emplea una escala logarítmica para las frecuencias el resultado es una curva simétrica alrededor de la frecuencia de resonancia.

Desfase

El desfase entre las oscilaciones de la velocidad y la fuerza aplicada es igual a

$\theta =\mathrm {arg} ({\hat {v}})=\mathrm {arctg} \left({\frac {\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}{2\beta \omega }}\right)$

La curva es igual al desfase de la elongación, pero desplazada en $\pi /2$. En la frecuencia de resonancia la velocidad y la fuerza van en fase

Energía y potencia

Al existir una fuerza de rozamiento, la energía se está transformando continuamente en calor. Puesto que la energía almacenada, en promedio, se conserva, esta energía que se pierde debe ser aportada regularmente por un agente externo, en este caso, la fuerza aplicada sobre la partícula.

La potencia con la que se disipa la energía es

$P_{d}=P_{\mathrm {nc} }=\mathbf {F} _{nc}\cdot \mathbf {v} =-\gamma v^{2}$

Sustituyendo la velocidad como función del tiempo

$P_{d}=-\gamma V^{2}\cos ^{2}(\omega t+\theta )$

La energía total disipada durante un periodo será, aplicando que

$\int _{0}^{2\pi }\cos ^{2}(x)\mathrm {d} x=\pi$

igual a

$W_{d}=\int _{0}^{P}P_{\mathrm {nc} }\,\mathrm {d} t=-{\frac {\pi \gamma V^{2}}{\omega }}$

Sustituyendo el valor de la amplitud en la velocidad

$W_{d}(\omega )=-{\frac {2\pi \beta \omega F_{0}^{2}/m}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+4\beta ^{2}\omega ^{2}}}$

siendo la potencia promedio

$\langle P_{d}\rangle ={\frac {W_{d}}{T}}=-{\frac {\beta \omega ^{2}F_{0}^{2}/m}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+4\beta ^{2}\omega ^{2}}}$

Representando gráficamente esta potencia promedio disipada como función de la frecuencia se obtiene de nuevo una curva con un máximo en la frecuencia de resonancia

Esto quiere decir que la frecuencia de resonancia es aquella en la que el sistema absorbe más energía de la fuerza aplicada, es decir, es la forma más efectiva de transmitir energía a un sistema. Si se emplea una frecuencia diferente el proceso ya no es tan eficiente.

En un ejemplo sencillo, esto nos está diciendo que si queremos impulsar un columpio, por ejemplo, debemos aplicar una fuerza oscilante cuya frecuencia debe ser lo más parecida posible a la propia del oscilador. No sirve de nada que unas veces empujemos el columpio cuando se va a lejando de nosotros y otras cuando se está acercando. Hay que hacerlo siempre cuando se está alejando. De esta forma se le comunica el máximo de energía posible y la amplitud de las oscilaciones resultantes es la mayor posible.

Factor de calidad

Ancho de banda

El factor de calidad, $Q$, de un oscilador mide cómo de agudo es el pico de una resonancia. Se define, en términos de la energía, como

$Q=2\pi {\frac {\mbox{Energia almacenada promedio}}{\mbox{Energia disipada en un periodo}}}=2\pi {\frac {\left\langle E\right\rangle }{|W_{d}|}}$

donde las cantidades se evalúan en la frecuencia de resonancia $\omega _{0}$. Calculando y sustituyendo los valores de la energía almacenada y de la disipada queda

$Q={\frac {\sqrt {km}}{\gamma }}$

Gráficamente, para resonancias muy agudas, el factor de calidad es inversamente proporcional al ancho de banda, que es la anchura del pico de la curva de la amplitud como función de la frecuencia, medida a media altura

$Q\simeq {\frac {\omega _{0}}{\Delta \omega }}$