Enunciado
Sea un cubo de arista b siendo O uno de sus vértices. ¿Cuánto mide la distancia de O al plano definido por sus tres vértices contiguos?
Solución
La distancia de un punto O a un plano es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d =\frac{\overrightarrow{OA}\cdot\vec{n}}{|\vec{n}|}}
Siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{n}}
un vector normal al plano. Si lo que conocemos son tres puntos del plano, A, B y C, podemos hallar un vector normal mediante el producto vectorial de dos vectores tangentes
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}}
En este caso, los tres puntos del plano son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}=b\vec{\imath}\qquad\qquad \overrightarrow{OB}=b\vec{\jmath}\qquad\qquad \overrightarrow{OC}=b\vec{k}}
lo que nos da los vectores de posición relativa
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=b\left(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=b\left(-\vec{\imath}+\vec{k}\right)}
y el vector normal
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath}&\vec{\jmath}&\vec{k}\\ -b & b & 0\\ -b & 0 & b\end{matrix}\right|=b^2\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\right)}
con módulo
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\vec{n}\right|=b^2\sqrt{3}}
Por tanto la distancia buscada mide
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d=\frac{(b\vec{\imath})\cdot\left(b^2\left(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\right)\right)}{b^2\sqrt{3}}=\frac{b}{\sqrt{3}}=\frac{b\sqrt{3}}{3}}
Esta distancia no es la mitad de la diagonal cúbica, sino la tercera parte.
