Ángulo entre diagonales

Enunciado

Calcule el ángulo que forman dos diagonales de un cubo.

Solución

Construimos un sistema de referencia con origen en un vértice del cubo y con ejes los definidos por las tres aristas contiguas.

Una de las diagonales es la que va del origen al vértice opuesto

$O(0,0,0)\qquad A(b,b,b)\qquad \Rightarrow \qquad {\overrightarrow {AB}}=b{\vec {\imath }}+b{\vec {\jmath }}+b{\vec {k}}$

Otra de las diagonales es la que une otro par de vértices opuestos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B(b,0,0)\qquad C(0,b,b)\qquad\Rightarrow\qquad \overrightarrow{BC}=-b\vec{\imath}+b\vec{\jmath}+b\vec{k}}

El coseno del ángulo que forman lo calculamos a partir del producto escalar

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{OA}\right|\left|\overrightarrow{BC}\right|}}

El módulo de ambos vectores vale lo mismo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\overrightarrow{OA}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{b^2+b^2+b^2}=b\sqrt{3}}

y su producto escalar vale

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{BC}=b\cdot(-b) + b\cdot b +b\cdot b=b^2}

lo que nos da

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos(\alpha)=\frac{b^2}{3b^2}=1/3}

y de aquí hallamos el ángulo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha=\arccos\left(\frac{1}{3}\right)=1.23\,\mathrm{rad}=70.5\,^\circ}