Estudio de un movimiento armónico simple

Enunciado

Un oscilador armónico con posición de equilibrio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_\mathrm{eq}=0} se mueve de tal forma que en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0.00\,\mathrm{s}} la partícula se halla en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_0=0.80\,\mathrm{m}} , moviéndose con velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0=+0.60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}} y aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_0=-0.20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2} . Halle la frecuencia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega} y el periodo del movimiento, su amplitud de oscilación y la fase inicial. Exprese los fasores (amplitudes complejas) de la posición, velocidad y aceleración.

Solución

Obtenemos la frecuencia a partir de la ecuación del oscilador armónico

$a=-\omega ^{2}x\,$

Esta ecuación se cumple en todo instante. En particular en el instante inicial, por lo que

$\omega ={\sqrt {-{\frac {a_{0}}{x_{0}}}}}={\sqrt {\frac {0.20}{0.80}}}\mathrm {s} ^{-1}=0.5\,\mathrm {s} ^{-1}$

Una vez que tenemos la frecuencia, tenemos el periodo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = \frac{2\pi}{\omega} = 4\pi\,\mathrm{s}=12.57\,\mathrm{s}}

A partir de las condiciones iniciales obtenemos el fasor (amplitud compleja) de la posición

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \hat{x}=x_0-\mathrm{j}\frac{v_0}{\omega}}

que en este caso es el número complejo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \hat{x}=(0.80-\frac{0.60}{0.5}\mathrm{j})\,\mathrm{m}=(0.80-1.20\mathrm{j})\,\mathrm{m}}

A partir del fasor obtenemos la amplitud como su módulo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A = |\hat{x}| = \sqrt{0.80^2+1.20^2}\,\mathrm{m}=1.44\,\mathrm{m}}

y la constante de fase como su argumento

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi = \mathrm{arctg}\left(\frac{-1.20}{0.80}\right)=-0.983\,\mathrm{rad}}

El fasor de la velocidad es igual al de la posición multiplicado por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{j}\omega}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \hat{v}=\mathrm{j}\omega\hat{x}=(0.5\,\mathrm{j})(0.80-1.20\mathrm{j})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}= (0.60+0.40\mathrm{j})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}

y el de la aceleración igual al de la velocidad multiplicado por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{j}\omega}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \hat{a}=\mathrm{j}\omega\hat{v}=(0.5\,\mathrm{j})(0.60+0.40\mathrm{j})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}= (-0.20+0.30\mathrm{j})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}}

A partir de aquí es inmediato obtener la amplitud y la constante de fase de la velocidad y de la aceleración.