Enunciado
Una partícula oscila según la ley
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z(t) = C\,\mathrm{sen}^2(\Omega t)}
- Pruebe que se trata de un movimiento armónico simple. ¿Cuál es su posición de equilibrio?
- ¿Cuánto valen la frecuencia, periodo y amplitud de este movimiento?
Solución
Para ver que se trata de un movimiento armónico podemos analizar la propia solución o comprobar si verifica la ecuación del oscilador armónico.
Hay que destacar que el hecho de que se trate de una función oscilante o periódica no equivale a que sea un movimiento armónico. Por ejemplo, si el exponente fuera un cubo en vez de un cuadrado, no se trataría de un m.a.s. Para que sea armónico debe verificarse la ecuación de movimiento
o
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a = \ddot{z}=-\omega^2(z-z_\mathrm{eq})}
Derivamos entonces nuestra función, para ver si se cumple una ecuación de este tipo. Primero hallamos la velocidad
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v = \dot{z} = 2C\Omega\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)}
y derivando de nuevo la aceleración
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a = \ddot{z} = 2C\Omega^2\left(\cos^2(\Omega t)-\mathrm{sen}^2(\Omega t)\right)}
Aplicando la relación
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos^2(\alpha) = 1 - \mathrm{sen}^2(\alpha)\,}
nos queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a = 2C\Omega^2\left(1-2\mathrm{sen}^2(\Omega t)\right) = -4C\Omega^2\mathrm{sen}^2(\Omega t)+2C\Omega^2}
En el primer sumando reconocemos a la propia elongación
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -4C\Omega^2\mathrm{sen}^2(\Omega t)=-4\Omega^2z\,}
con lo cual la aceleración es de la forma
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que es la ecuación general del oscilador armónico. Podemos afinar más el cálculo y hallar la posición de equilibrio, la frecuencia, amplitud y resto de parámetros.
Interesa extraer el factor Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -4\Omega^2}
y escribir la aceleración como
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Esta también es la ecuación de un oscilador armónico, si hacemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega^2 = 4\Omega^2 \qquad\Rightarrow\qquad \omega = 2\Omega\qquad\qquad z_\mathrm{eq} = \frac{C}{2}}
La amplitud de las oscilaciones es la mitad de la distancia entre el valor máximo y el mínimo de la posición, que corresponden respectivamente a que el seno valga +1 (o -1) y a que valga 0.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_\mathrm{max}=C\cdot 1 = C\qquad\qquad x_\mathrm{min} = C\cdot 0 = 0\qquad\Rightarrow\qquad A = \frac{C-0}{2}=\frac{C}{2}}
Por tanto tenemos un oscilador armónico tal que
- Su punto de equilibrio se encuentra en
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z_\mathrm{eq} = \frac{C}{2}}
- Su frecuencia angular de oscilación es igual a
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- Su frecuencia natural vale
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- Su periodo de oscilación es
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Podemos ver claramente estos resultados sin más que representar la función. Si el seno
lo elevamos al cuadrado queda
Al elevar el seno al cuadrado resulta una función siempre positiva, que por tanto oscila alrededor de un valor que será también positivo. Asimismo, la amplitud se reduce a la mitad mientras que la frecuencia resultante se duplica.
A este resultado se puede llegar también simplemente observando que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z = C\,\mathrm{sen}^2(\Omega t) = \frac{C\left(1-\cos(2\Omega t)\right)}{2} = \frac{C}{2}-\frac{C}{2}\cos(2\Omega t)}
que es claramente una oscilación armónica de frecuencia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2\Omega}
con amplitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C/2}
alrededor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z_\mathrm{eq}=C/2}
.
Por comparación, podemos ver que el cubo del seno no es una oscilación armónica
