Ejemplo de operaciones con dos vectores

Enunciado

Dados los vectores

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}=2.0\vec{\imath}+3.5\vec{\jmath}-4.2\vec{k}\qquad\qquad\vec{a}=4.5\vec{\imath}-2.2\vec{\jmath}+1.5\vec{k}}

1. ¿Qué ángulo forman estos dos vectores?
2. ¿Qué área tiene el paralelogramo que tiene a estos dos vectores por lados?
3. Escriba Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}} como suma de dos vectores, uno paralelo a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}} y otro ortogonal a él.

Ángulo

Obtenemos el ángulo a partir del producto escalar de los dos vectores

${\vec {v}}\cdot {\vec {a}}=|{\vec {v}}||{\vec {a}}|\cos(\alpha )\qquad \Rightarrow \qquad \alpha =\arccos \left({\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {a}}}{|{\vec {v}}||{\vec {a}}|}}\right)$

Tenemos que

${\vec {v}}\cdot {\vec {a}}=(2.0)(4.5)+(3.5)(-2.2)+(-4.2)(1.5)=-5.0$

y que

$|{\vec {v}}|={\sqrt {{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}={\sqrt {2.0^{2}+3.5^{2}+(-4.2)^{2}}}=5.82\qquad |{\vec {a}}|={\sqrt {{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}}}={\sqrt {4.5^{2}+(-2.3)^{2}+(1.5)^{2}}}=5.23$

lo que nos da

$\cos(\alpha )={\frac {-5.0}{5.82\cdot 5.23}}=-0.164\qquad \Rightarrow \qquad \alpha =1.74\,\mathrm {rad} =99.5^{\circ }$

Área

Podemos hallar el área a partir de lo que ya sabemos

$S=|{\vec {v}}||{\vec {a}}||\mathrm {sen} (\alpha )|=30.0$

o bien a partir del producto vectorial

${\vec {v}}\times {\vec {a}}=\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2.0&3.5&-4.2\\4.5&-2.2&1.5\end{matrix}}\right|=-3.99{\vec {\imath }}-21.9{\vec {\jmath }}-20.2{\vec {k}}$

cuyo módulo vale

$S={\sqrt {(-3.99)^{2}+(-21.9)^{2}+(20.15)^{2}}}=30.0$

Descomposición

Para descomponer el vector ${\vec {a}}$ aplicamos el doble producto vectorial para obtener

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_\parallel = \frac{(\vec{v}\cdot\vec{a})\vec{v}}{|\vec{v}|^2}\qquad\qquad \vec{a}_\perp = \frac{(\vec{v}\times\vec{a})\times\vec{v}}{|\vec{v}|^2}}

Conocemos aquí todas las cantidades salvo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\vec{v}\times\vec{a})\times\vec{v} = \left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -3.99 & -21.9 & -20.2\\ 2.0 & 3.5 & -4.2 \end{matrix}\right| = 162\vec{\imath}-57.1\vec{\jmath} +29.8\vec{k}}

Sustituyendo en las expresiones anteriores nos queda, para la parte paralela

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_\parallel = \frac{(-5.0)(2.0\vec{\imath}+3.5\vec{\jmath}-4.2\vec{k})}{(5.82)^2}=-0.30\vec{\imath}-0.52\vec{\jmath}+ 0.62\vec{k}}

y para la normal

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_\perp = \frac{162\vec{\imath}-57.1\vec{\jmath} +29.8\vec{k}}{(5.82)^2}=4.8\vec{\imath} -1.68\vec{\jmath}+ 0.88\vec{k}}

Por supuesto, también podíamos haber hallado esta parte simplemente restando del vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}} .