Enunciado
Usando el Principio de los Trabajos Virtuales, determina las reacciones horizontal y vertical en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} para la estructura de la figura. La masa de las barras es despreciable. Calcula el valor numeŕico para los valores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a=1.00\,\mathrm{m}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{F}|=400\,\mathrm{N}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{\tau}|=500\,\mathrm{N\cdot m}} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=40^{\circ}} .
Solución
La figura de la derecha muestra las reacciones vinculares que pueden aparecer en los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C } . Queremos determinar las magnitudes de las reacciones en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C } para los valores de los parámetros dados. Para ello hemos de imaginar desplazamientos virtuales que, rompiendo los vínculos adecuados, nos permitan hacer estos cálculos, basándonos en el Principio de los Trabajos Virtuales para un sólido rígido
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta W = \sum\limits_{i=1}^M \vec{F}_i\cdot\delta\vec{r}_i + \sum\limits_{j=1}^P \vec{M}_j\cdot\delta\vec{\alpha}_j = 0 }
Reacción horizontal en
Podemos liberar el vínculo horizontal en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C } , de modo que este punto pueda deslizar sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX } . Al hacer esto, la fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{C}_x } pasa a ser considerada una fuerza activa. Si liberamos ese vínculo, podemos imaginar un desplazamiento virtual en el que varía el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta } en una cantidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta\theta } . Tenemos que determinar los desplazamientos virtuales de los puntos de los sólidos donde hay aplicadas fuerzas activas y las rotaciones virtuales de los sólidos donde hay aplicados pares activos. En este caso serían Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta\vec{r}^{\,G_0}_{01} } , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta\vec{\alpha}_{21} } y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta\vec{r}^{\,C}_{21} } . El Principio de los Trabajos Virtuales en este caso quedaría
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta W = \vec{F}\cdot\delta\vec{r}^{\,G_0}_{01} + \vec{\tau}\cdot\delta\vec{\alpha}_{21} + \vec{C}_x\cdot\delta\vec{r}^{\,C}_{21}=0 }
La fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F} } se aplica en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G_0 } . Tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}^{\,G_0}_{01} = a\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1 }
El desplazamiento virtual es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta\vec{r}^{\,G_0}_{01} = \dfrac{\partial\vec{r}^{\,G_0}_{01}}{\partial\theta}\,\delta\theta = (-a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + a\cos\theta\,\vec{\jmath}_1)\delta\theta }
y tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}\cdot\delta\vec{r}^{ \,G_0}_{01} = -aF\,\mathrm{sen}\,\theta\,\delta\theta }
Para el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C } tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}^{\,C}_{21} = 4a\cos\theta\,\vec{\imath}_1 }
El desplazamiento virtual es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta\vec{r}^{\,C}_{21} = \dfrac{\partial\vec{r}^{\,C}_{21}}{\partial\theta}\,\delta\theta = -4a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\delta\theta\,\vec{\imath}_1 }
y
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{C}_x\cdot\delta\vec{r}^{\,C}_{21} = -4aC_x\,\mathrm{sen}\,\theta\,\delta\theta }
Para el vector rotación, nos fijamos en que al hacer una rotación virtual, el vector rotación de la barra "2" es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21} = \dfrac{\delta\vec{\alpha}_{21}}{\delta t} = -\dot{\theta}\,\vec{k} }
Entonces, una rotación virtual sería
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta\vec{\alpha}_{21} = \vec{\omega}_{21}\delta t = -\delta\theta\,\vec{k} }
y por tanto
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\tau}\cdot\delta\vec{\alpha}_{21} = -\tau\,\delta\theta }
Entonces, el trabajo virtual en este desplazamiento virtual es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta W = -aF\,\mathrm{sen}\,\theta\,\delta\theta - 4aC_x\,\mathrm{sen}\,\theta\,\delta\theta - \tau\,\delta\theta =0 }
Despejando obtenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_x = -\dfrac{aF\,\mathrm{sen}\,\theta + \tau}{4a\,\mathrm{sen}\,\theta} }
Con los valores numéricos del enunciado se tiene
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_x = -294\,\mathrm{N} }
Y la fuerza de reacción es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{C}_x = C_x\,\vec{\imath}_1 = -294\,\vec{\imath}_1\,\mathrm{(N)} }
La fuerza está dirigida hacia la izquierda.
Reacción vertical en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C }
Ahora debemos imaginar un movimiento virtual liberando un vínculo de modo que entre en juego la fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{C}_y } . Una posibilidad sería un desplazamiento vertical rígido de las dos barras. Pero entonces también actuaría la fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{A}_y } . La solución es imaginar una rotación rígida de las dos barras alrededor del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A } , con un giro dado por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta\beta } . En este caso, las dos barras forman un único sólido rígido "2". Al hacer la rotación virtual, el Principio de los Trabajos Virtuales queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta W = \vec{F}\cdot\delta\vec{r}^{\,G_0}_{21} + \vec{\tau}\cdot\delta\vec{\alpha}_{21} + \vec{C}_y\cdot\delta\vec{r}^{\,C}_{21}=0 }
La fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F} } se aplica en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G_0 } . Tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta\vec{r}^{\,G_0}_{21} = \delta\vec{\alpha}_{21}\times\vec{r}^{\,G_0}_{21} =(\delta\beta\,\vec{k})\times(a\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1) = (-a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + a\cos\theta\,\vec{\jmath}_1)\,\delta\beta }
y tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}\cdot\delta\vec{r}^{G_0}_{21} = -aF\,\mathrm{sen}\,\theta\,\delta\beta }
Para el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C } tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta\vec{r}^{\,C}_{21} = \delta\vec{\alpha}_{21}\times\vec{r}^{\,C}_{21} =(\delta\beta\,\vec{k})\times(4a\cos\theta\,\vec{\imath}_1) = 4a\cos\theta\,\vec{\jmath}_1\,\delta\beta }
y
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{C}_y\cdot\delta\vec{r}^{\,C}_{21} = 4aC_y\cos\theta\,\delta\beta }
Para la rotación
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\tau}\cdot\delta\vec{\alpha}_{21} = \tau\,\delta\beta }
Entonces, el trabajo virtual es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta W = -aF\,\mathrm{sen}\,\theta\,\delta\beta + 4aC_y\cos\theta\,\delta\beta + \tau\,\delta\beta =0 }
Despejando obtenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_y = \dfrac{aF\,\mathrm{sen}\,\theta - \tau}{4a\cos\theta} }
Con los valores numéricos del enunciado se tiene
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_y = -79.3\,\mathrm{N} }
Y la fuerza de reacción es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{C}_y = C_y\,\vec{\jmath}_1 = -79.3\,\vec{\jmath}_1\,\mathrm{(N)} }
La fuerza está dirigida hacia abajo.
