Dos barras en V con apoyos (MR G.I.C.)

Enunciado

Usando el Principio de los Trabajos Virtuales, determina las reacciones horizontal y vertical en el punto $C$ para la estructura de la figura. La masa de las barras es despreciable. Calcula el valor numeŕico para los valores $a=1.00\,\mathrm {m}$, $|{\vec {F}}|=400\,\mathrm {N}$, $|{\vec {\tau }}|=500\,\mathrm {N\cdot m}$, $\theta =40^{\circ }$.

Solución

La figura de la derecha muestra las reacciones vinculares que pueden aparecer en los puntos $A$ y $C$. Queremos determinar las magnitudes de las reacciones en $C$ para los valores de los parámetros dados. Para ello hemos de imaginar desplazamientos virtuales que, rompiendo los vínculos adecuados, nos permitan hacer estos cálculos, basándonos en el Principio de los Trabajos Virtuales para un sólido rígido

$\delta W=\sum \limits _{i=1}^{M}{\vec {F}}_{i}\cdot \delta {\vec {r}}_{i}+\sum \limits _{j=1}^{P}{\vec {M}}_{j}\cdot \delta {\vec {\alpha }}_{j}=0$

Reacción horizontal en $C$

Podemos liberar el vínculo horizontal en $C$, de modo que este punto pueda deslizar sobre el eje $OX$. Al hacer esto, la fuerza ${\vec {C}}_{x}$ pasa a ser considerada una fuerza activa. Si liberamos ese vínculo, podemos imaginar un desplazamiento virtual en el que varía el ángulo $\theta$ en una cantidad $\delta \theta$. Tenemos que determinar los desplazamientos virtuales de los puntos de los sólidos donde hay aplicadas fuerzas activas y las rotaciones virtuales de los sólidos donde hay aplicados pares activos. En este caso serían $\delta {\vec {r}}_{01}^{\,G_{0}}$, $\delta {\vec {\alpha }}_{21}$ y $\delta {\vec {r}}_{21}^{\,C}$. El Principio de los Trabajos Virtuales en este caso quedaría

$\delta W={\vec {F}}\cdot \delta {\vec {r}}_{01}^{\,G_{0}}+{\vec {\tau }}\cdot \delta {\vec {\alpha }}_{21}+{\vec {C}}_{x}\cdot \delta {\vec {r}}_{21}^{\,C}=0$

La fuerza ${\vec {F}}$ se aplica en el punto $G_{0}$. Tenemos

${\vec {r}}_{01}^{\,G_{0}}=a\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{1}+a\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1}$

El desplazamiento virtual es

$\delta {\vec {r}}_{01}^{\,G_{0}}={\dfrac {\partial {\vec {r}}_{01}^{\,G_{0}}}{\partial \theta }}\,\delta \theta =(-a\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+a\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{1})\delta \theta$

y tenemos

${\vec {F}}\cdot \delta {\vec {r}}_{01}^{\,G_{0}}=-aF\,\mathrm {sen} \,\theta \,\delta \theta$

Para el punto $C$ tenemos

${\vec {r}}_{21}^{\,C}=4a\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{1}$

El desplazamiento virtual es

$\delta {\vec {r}}_{21}^{\,C}={\dfrac {\partial {\vec {r}}_{21}^{\,C}}{\partial \theta }}\,\delta \theta =-4a\,\mathrm {sen} \,\theta \,\delta \theta \,{\vec {\imath }}_{1}$

y

${\vec {C}}_{x}\cdot \delta {\vec {r}}_{21}^{\,C}=-4aC_{x}\,\mathrm {sen} \,\theta \,\delta \theta$

Para el vector rotación, nos fijamos en que al hacer una rotación virtual, el vector rotación de la barra "2" es

${\vec {\omega }}_{21}={\dfrac {\delta {\vec {\alpha }}_{21}}{\delta t}}=-{\dot {\theta }}\,{\vec {k}}$

Entonces, una rotación virtual sería

$\delta {\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\omega }}_{21}\delta t=-\delta \theta \,{\vec {k}}$

y por tanto

${\vec {\tau }}\cdot \delta {\vec {\alpha }}_{21}=-\tau \,\delta \theta$

Entonces, el trabajo virtual en este desplazamiento virtual es

$\delta W=-aF\,\mathrm {sen} \,\theta \,\delta \theta -4aC_{x}\,\mathrm {sen} \,\theta \,\delta \theta -\tau \,\delta \theta =0$

Despejando obtenemos

$C_{x}=-{\dfrac {aF\,\mathrm {sen} \,\theta +\tau }{4a\,\mathrm {sen} \,\theta }}$

Con los valores numéricos del enunciado se tiene

$C_{x}=-294\,\mathrm {N}$

Y la fuerza de reacción es

${\vec {C}}_{x}=C_{x}\,{\vec {\imath }}_{1}=-294\,{\vec {\imath }}_{1}\,\mathrm {(N)}$

La fuerza está dirigida hacia la izquierda.

Reacción vertical en $C$

Ahora debemos imaginar un movimiento virtual liberando un vínculo de modo que entre en juego la fuerza ${\vec {C}}_{y}$. Una posibilidad sería un desplazamiento vertical rígido de las dos barras. Pero entonces también actuaría la fuerza ${\vec {A}}_{y}$. La solución es imaginar una rotación rígida de las dos barras alrededor del punto $A$, con un giro dado por $\delta \beta$. En este caso, las dos barras forman un único sólido rígido "2". Al hacer la rotación virtual, el Principio de los Trabajos Virtuales queda

$\delta W={\vec {F}}\cdot \delta {\vec {r}}_{21}^{\,G_{0}}+{\vec {\tau }}\cdot \delta {\vec {\alpha }}_{21}+{\vec {C}}_{y}\cdot \delta {\vec {r}}_{21}^{\,C}=0$

La fuerza ${\vec {F}}$ se aplica en el punto $G_{0}$. Tenemos

$\delta {\vec {r}}_{21}^{\,G_{0}}=\delta {\vec {\alpha }}_{21}\times {\vec {r}}_{21}^{\,G_{0}}=(\delta \beta \,{\vec {k}})\times (a\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{1}+a\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1})=(-a\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+a\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{1})\,\delta \beta$

y tenemos

${\vec {F}}\cdot \delta {\vec {r}}_{21}^{G_{0}}=-aF\,\mathrm {sen} \,\theta \,\delta \beta$

Para el punto $C$ tenemos

$\delta {\vec {r}}_{21}^{\,C}=\delta {\vec {\alpha }}_{21}\times {\vec {r}}_{21}^{\,C}=(\delta \beta \,{\vec {k}})\times (4a\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{1})=4a\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{1}\,\delta \beta$

y

${\vec {C}}_{y}\cdot \delta {\vec {r}}_{21}^{\,C}=4aC_{y}\cos \theta \,\delta \beta$

Para la rotación

${\vec {\tau }}\cdot \delta {\vec {\alpha }}_{21}=\tau \,\delta \beta$

Entonces, el trabajo virtual es

$\delta W=-aF\,\mathrm {sen} \,\theta \,\delta \beta +4aC_{y}\cos \theta \,\delta \beta +\tau \,\delta \beta =0$

Despejando obtenemos

$C_{y}={\dfrac {aF\,\mathrm {sen} \,\theta -\tau }{4a\cos \theta }}$

Con los valores numéricos del enunciado se tiene

$C_{y}=-79.3\,\mathrm {N}$

Y la fuerza de reacción es

${\vec {C}}_{y}=C_{y}\,{\vec {\jmath }}_{1}=-79.3\,{\vec {\jmath }}_{1}\,\mathrm {(N)}$

La fuerza está dirigida hacia abajo.