No Boletín - Tercera ley de Kepler (Ex.Nov/12)

Enunciado

El período Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,T\,} de revolución de un planeta alrededor del Sol se puede calcular mediante el siguiente producto de potencias:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T=Ca^{\alpha}M^{\beta}G^{\,\gamma} }

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,C\,} es un factor adimensional, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a\,} es la longitud del semieje mayor de la órbita elíptica del planeta, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M\,} es la masa del Sol, y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G\,} es la constante de gravitación universal (la cual se mide en NError al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\cdot\,} mError al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ^2} /kgError al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ^2} en el SI). Utilice el análisis dimensional para responder a la siguiente pregunta: ¿cuáles son los valores correctos de los exponentes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\alpha\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\gamma\,} ?

Solución

La ecuación dada en el enunciado ha de ser dimensionalmente homogénea. Por tanto, los valores de los exponentes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\alpha\,} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta\,} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,\gamma\,} no pueden ser cualesquiera, sino precisamente los compatibles con dicha condición de homogeneidad dimensional.

De las magnitudes físicas presentes en la citada ecuación, la única cuyas dimensiones no son obvias es la constante de gravitación universal. Por eso se nos facilita su unidad en el SI, para que podamos deducir su ecuación dimensional:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{unidad}\,\,\mathrm{SI}\,\,\mathrm{de}\,\, G = 1\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2\mathrm{/kg}^2\,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\,[G\,]=\frac{MLT^{-2}L^2}{M^2}=M^{-1}L^3T^{-2} }

Ya estamos preparados para tomar dimensiones en la ecuación del período de revolución dada en el enunciado. Al hacerlo, desaparece Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \,C\,} por ser un factor adimensional, y se obtiene:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [T]=[a]^{\alpha}[M]^{\beta}[G\,]^{\,\gamma} \,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,T = L^{\alpha}M^{\beta}\left(M^{-1}L^3T^{-2}\right)^{\gamma}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\, T = M^{\beta-\gamma}L^{\alpha+3\gamma}T^{-2\gamma}\,}

Igualando entre sí los exponentes de cada magnitud básica en ambos miembros (obviamente la ausencia de una magnitud equivale a un exponente nulo), obtenemos:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0 = \beta-\gamma\,\,; \qquad\qquad 0 = \alpha+3\gamma\,\,; \qquad\qquad 1 = -2\gamma }

de donde:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha = \frac{3}{2}\,\,; \qquad\qquad \beta = -\frac{1}{2}\,\,; \qquad\qquad \gamma = -\frac{1}{2}}