Percusión sobre una barra vertical (Feb. 2020)

Enunciado

Una varilla delgada (sólido "2") de masa $m$ y longitud $2b$ está articulada en un pasador (punto $A$) que desliza sobre el eje fijo $OY_{1}$.

1. Calcula la reducción cinemática en el punto $A$ del movimiento {21}.
2. Calcula la energía cinética de la varilla y su energía potencial.
3. Cuando la varilla se encuentra en reposo y con $x=0$ y $\theta =0$, se aplica en el punto $C$ una percusión ${\vec {\hat {F}}}={\hat {F}}_{0}\,(-{\vec {\imath }}_{1}+{\vec {\jmath }}_{1})$, con ${\hat {F}}_{0}>0$. Determina el movimiento de la varilla justo después de la percusión así como el valor de la percusión vincular en $A$.
4. Discute el movimiento del punto $A$ en función del valor de $s$. ¿Donde está el centro de percusión de $A$?

Solución

Reducción cinemática

La reducción cinemática en el punto $A$ es

${\vec {\omega }}_{21}={\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1},\qquad {\vec {v}}_{21}^{\,A}={\dot {x}}\,{\vec {\jmath }}_{1}$

El sólido tiene dos grados de libertad: $\{x,\theta \}$.

Energía cinética y potencial

Calculamos la energía cinética pasando por el centro de masas del sólido

$T=T_{T}+T_{R}$

La energía cinética de traslación es

$T_{T}={\dfrac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{21}^{\,G}|^{2}$

La velocidad del centro de masas es

${\begin{array}{ll}{\vec {v}}_{21}^{\,G}&={\vec {v}}_{21}^{\,A}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AG}}=-b{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+({\dot {x}}+b{\dot {\theta }}\cos \theta )\,{\vec {\jmath }}_{1}\\&{\vec {v}}_{21}^{\,A}={\dot {x}}\,{\vec {\jmath }}_{1}\\&{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AG}}=({\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1})\times (b\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{1}+b\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1})=-b{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+b{\dot {\theta }}\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}$

Por tanto, la energía cinética de traslación es

$T_{T}={\dfrac {1}{2}}m\,({\dot {x}}^{2}+b^{2}{\dot {\theta }}^{2}+2b{\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta )$

La energía cinética de rotación es

$T_{R}={\dfrac {1}{2}}I_{G}|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}={\dfrac {1}{2}}\,{\dfrac {1}{12}}m(2b)^{2}\,{\dot {\theta }}^{2}$

La energía cinética total es

$T={\dfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+{\dfrac {2}{3}}mb^{2}{\dot {\theta }}^{2}+mb{\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta .$

La única fuerza conservartiva en el problema es la gravedad. Tomando como referencia de energía potencial gravitatoria la altura del punto $O$ tenemos

$U=U_{g}=-mgb\cos \theta .$

Percusión

La velocidad del punto $C$ es

${\begin{array}{ll}{\vec {v}}_{21}^{\,C}&={\vec {v}}_{21}^{\,A}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AC}}=-s{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta +({\dot {x}}+s{\dot {\theta }}\cos \theta )\,{\vec {\jmath }}_{1}\\&{\vec {v}}_{21}^{\,A}={\dot {x}}\,{\vec {\jmath }}_{1}\\&{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AC}}=({\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1})\times (s\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{1}+s\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1})=-s{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+s{\dot {\theta }}\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}$

La función de Lagrange es

$L=T-U={\dfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+{\dfrac {2}{3}}mb^{2}{\dot {\theta }}^{2}+mb{\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +mgb\cos \theta$

Como hay dos grados de libertad, tendremos dos ecuaciones de Lagrange percusivas

$\Delta p_{x}={\hat {Q}}_{x}^{NC},\qquad \Delta p_{\theta }={\hat {Q}}_{\theta }^{NC}.$

Para la primera tenemos

$p_{x}={\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}+mb{\dot {\theta }}\cos \theta \Longrightarrow \Delta p_{x}=\left.(m\Delta {\dot {x}}+mb\Delta {\dot {\theta }}\cos \theta )\right|_{x=0,\theta =0}=m\Delta {\dot {x}}+mb\Delta {\dot {\theta }}.$

La percusión generalizada para la coordenada $x$ es

${\hat {Q}}_{x}^{NC}={\vec {\hat {F}}}\cdot {\dfrac {\partial {\vec {v}}_{21}^{\,C}}{\partial {\dot {x}}}}=\left.{\hat {F}}_{0}\,(-{\vec {\imath }}_{1}+{\vec {\jmath }}_{1})\cdot ({\vec {\jmath }}_{1})\right|_{x=0,\theta =0}={\hat {F}}_{0}$

Obtenemos así la ecuación

$\Delta {\dot {x}}+b\Delta {\dot {\theta }}={\hat {F}}_{0}/m\qquad (1)$

Procedemos de manera similar para $\theta$

$p_{\theta }={\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}={\dfrac {4}{3}}mb^{2}{\dot {\theta }}+mb{\dot {x}}\cos \theta \Longrightarrow \Delta p_{\theta }=\left.({\dfrac {4}{3}}mb^{2}\Delta {\dot {\theta }}+mb\Delta {\dot {x}}\cos \theta )\right|_{x=0,\theta =0}={\dfrac {4}{3}}mb^{2}\Delta {\dot {\theta }}+mb\Delta {\dot {x}}.$

La percusión generalizada para la coordenada $\theta$ es

${\hat {Q}}_{\theta }^{NC}={\vec {\hat {F}}}\cdot {\dfrac {\partial {\vec {v}}_{21}^{\,C}}{\partial {\dot {\theta }}}}=\left.{\hat {F}}_{0}\,(-{\vec {\imath }}_{1}+{\vec {\jmath }}_{1})\cdot (-s\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+s\cos \theta {\vec {\jmath }}_{1})\right|_{x=0,\theta =0}={\hat {F}}_{0}s$

Obtenemos así la ecuación

$3\Delta {\dot {x}}+4b\Delta {\dot {\theta }}={\dfrac {3{\hat {F}}_{0}s}{mb}}\qquad (2)$

Resolviendo para $\Delta {\dot {x}}$ y $\Delta {\dot {\theta }}$ obtenemos

$\Delta {\dot {x}}={\dfrac {{\hat {F}}_{0}}{mb}}\,(4b-3s),\qquad \Delta {\dot {\theta }}=-{\dfrac {3{\hat {F}}_{0}}{mb^{2}}}\,(b-s)$

Como la barra parte del reposo: ${\dot {x}}^{-}={\dot {\theta }}^{-}=0$. Por tanto

${\dot {x}}^{+}={\dfrac {{\hat {F}}_{0}}{mb}}\,(4b-3s),\qquad {\dot {\theta }}^{+}=-{\dfrac {3{\hat {F}}_{0}}{mb^{2}}}\,(b-s)$

La figura de la derecha muestra las percusiones que actúan sobre la barra, a saber, la percusión libre ${\vec {\hat {F}}}$ y la percusión vincular ${\vec {\hat {A}}}$. Aplicando el T.C.M Percusivo tenemos

$\Delta {\vec {C}}={\vec {\hat {F}}}+{\vec {\hat {A}}}\Longrightarrow {\vec {\hat {A}}}=\Delta {\vec {C}}-{\vec {\hat {F}}}$

La variación de la cantidad de movimiento es

$\Delta {\vec {C}}=m\Delta {\vec {v}}_{21}^{\,G}=\left.(-b\Delta {\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+(\Delta {\dot {x}}+b\Delta {\dot {\theta }}\cos \theta )\,{\vec {\jmath }}_{1})\right|_{x=0,\theta =0}=(\Delta {\dot {x}}+b\Delta {\dot {\theta }})\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Utilizando la solución calculada antes tenemos

${\vec {\hat {A}}}={\hat {F}}_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}$

Movimiento de $A$ en función de $s$

La velocidad de $A$ justo después de la percusión es

${\vec {v}}_{21}^{\,A+}={\dot {x}}^{+}\,{\vec {\jmath }}_{1}={\dfrac {{\hat {F}}_{0}}{mb}}\,(4b-3s)\,{\vec {\jmath }}_{1}$

Vemos que si $s=s_{p}=4b/3$ esta velocidad es nula. Ese valor de $s$ indica la posición del centro de percusión de $A$. Si $s<s_{p}$ (la parte de arriba de la barra) el punto $A$ se mueve hacia la derecha. Si $s>s_{p}$ (la parte de abajo de la barra) el punto $A$ se mueve hacia la izquierda.