Barra colgando de aro fijo (Ene. 2019)

Enunciado

Una barra (sólido "2") homogénea y delgada de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2R} y masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} se mueve de modo que su extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} está obligado a deslizar por un aro fijo de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} (sólido "1"). Escogemos un sistema de ejes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0Y_0Z_0} de modo que el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Z_0} coincide con el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OZ_1} y el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0Z_0} contiene en todo momento a la barra. Los ejes solidarios con la barra son tales que el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AX_2Z_2} coincide siempre con el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0Z_0} . Entonces se cumple Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AY_2\parallel OY_0} . El eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AX_0} forma un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} con el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0} .

1. Encuentra la reducción cinemática del movimiento \{21\} en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} así como su derivada temporal.
2. Calcula el momento cinético de la barra en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} . Explica como calcularías su momento cinético en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} .
3. Calcula la energía cinética de la barra y su energía potencial.
4. Se impone el vínculo cinemático Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\phi}=\omega_0} , siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_0} una constante. Escribe la desvinculación de la barra.
5. Supongamos que la Lagrangiana del sistema tiene la forma Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L = A + B\dot{\theta}^2, } con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} constantes. El vínculo cinemático del apartado anterior sigue aplicado. El estado de la barra está descrito por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(0^-) = \pi/2} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}(0^-)=0} . Se aplica una percusión Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\hat{F}} = [\hat{F}_0, \hat{F}_0, 0]_0} en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} . Calcula el estado del sistema justo después de la percusión y el valor de la percusión vincular en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} .

Solución

Reducción cinemática

Movimiento {01}

Este es un par de revolución del que hemos visto muchos ejemplos. La reducción cinemática en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} y su derivada temporal son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \vec{\omega}_{01} = \dot{\phi}\,\vec{k}_{0,1}, & \qquad & \vec{v}^{\,O}_{01} = \vec{0},\\ &\\ \vec{\alpha}_{01} = \ddot{\phi}\,\vec{k}_{0,1}, & \qquad & \vec{a}^{\,O}_{01} = \vec{0}. \end{array} }

La velocidad en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{v}^{\,O}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA} = \vec{0} + (\dot{\phi}\,\vec{k})\times(R\,\vec{\imath}_0) = R\dot{\phi}\,\vec{\jmath}_0 }

La aceleración en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{ll} \vec{a}^{\,A}_{01} & = \vec{a}^{\,O}_{01} + \vec{\alpha}\times\overrightarrow{OG} + \vec{\omega}_{01}\times( \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}) = -R\dot{\phi}^2\,\vec{\imath}_0 + R\ddot{\phi}\,\vec{\jmath}_0 \\ & \vec{a}^{\,O}_{01} = \vec{0},\\ & \vec{\alpha}\times\overrightarrow{OG} = (\ddot{\phi}\,\vec{k})\times(R\,\vec{\imath}_0) = R\ddot{\phi}\,\vec{\jmath}_0,\\ & \vec{\omega}_{01}\times( \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}) = -R\dot{\phi}^2\,\vec{\imath}_0. \end{array} }

Movimiento {20}

El punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} es un punto fijo de este movimiento, es decir, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,A}_{20}=\vec{0}} . En el vector rotación aparece la derivada temporal del ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} . La reducción cinemática y su derivada temporal son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \vec{\omega}_{20} = \dot{\theta}\,\vec{\jmath}_{0,2}, & \qquad & \vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{0},\\ &\\ \vec{\alpha}_{20} = \ddot{\theta}\,\vec{\jmath}_{0,2}, & \qquad & \vec{a}^{\,A}_{20} = \vec{0}. \end{array} }

Movimiento {21}

Usamos las leyes de composición para obtener la reducción cinemática y su derivada temporal en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} = \dot{\theta}\,\vec{\jmath}_0 + \dot{\phi}\,\vec{k}_0,\\ \\ \vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} = -\dot{\theta}\dot{\phi}\,\vec{\imath}_0 + \ddot{\theta}\,\vec{\jmath}_0 + \ddot{\phi}\,\vec{k}_0,\\ \\ \vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{20} + \vec{v}^{\,A}_{01} = R\dot{\phi}\,\vec{\jmath}_0,\\ \\ \vec{a}^{\,A}_{21} = \vec{a}^{\,A}_{20} + \vec{a}^{\,A}_{01} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,A}_{20} = -R\dot{\phi}^2\,\vec{\imath}_0 + R\ddot{\phi}\,\vec{\jmath}_0. \end{array} }

Momento cinético de la barra en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G}

Al ser el centro de masas el momento cinético se puede calcular como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_G = \overset\leftrightarrow{I}_G\cdot\vec{\omega}_{21}. }

El tensor de inercia de la barra en el CM es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overset\leftrightarrow{I}_G = I \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]_2 }

con

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I = \dfrac{1}{12}M(2R)^2 = \dfrac{1}{3}MR^2. }

El cero en la diagonal se coloca en la primera fila, pues es el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X_2} el que coincide con la barra.

Tenemos que expresar el vector rotación en la base del sólido "2". Del dibujo tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{\imath}_0 = \cos\theta\,\vec{\imath}_2 + \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{k}_2,\\ \\ \vec{\jmath}_0 = \vec{\jmath}_2,\\ \\ \vec{k}_0 = - \mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_2 + \cos\theta\,\vec{k}_2. \end{array} }

Tenemos entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21} = -\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_2 + \dot{\theta}\,\vec{\jmath}_2 + \dot{\phi}\cos\theta\,\vec{k}_2. }

Ahora podemos hacer el producto escalar

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_G = \overset\leftrightarrow{I}_G\cdot\vec{\omega}_{21} = I \left[ \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]_2 \left[ \begin{array}{c} -\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\theta\\ \dot{\theta}\\ \dot{\phi}\cos\theta \end{array} \right]_2 = \left[ \begin{array}{c} 0\\ I\dot{\theta}\\ I\dot{\phi}\cos\theta\\ \end{array} \right]_2 }

La forma más sencilla de calcular el momento cinético en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} es trasladar el momento cinético en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} usando la ecuación del campo de momentos cinéticos del sólido

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_A = \vec{L}_G + \vec{C}\times\overrightarrow{GA}. }

Aquí, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{C}=\vec{v}^{\,G}_{21}} es la cantidad de movimiento de la barra.

Energías cinética y potencial de la barra

Podemos calcular la energía cinética usando la expresión

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,G}_{21}|^2 + \dfrac{1}{2}\vec{\omega}_{21}\cdot\overset\leftrightarrow{I}_G\cdot\vec{\omega}_{21}. }

El primer sumando es la energía cinética de traslación. La velocidad absoluta del CM de la barra es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{ll} \vec{v}^{\,G}_{21} & = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}\times\overrightarrow{AG} = -R\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_0 + R\dot{\phi}(1+\cos\theta)\,\vec{\jmath}_0 - R\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{k}_0 \\ & \vec{v}^{\,A}_{21} = R\dot{\phi}\,\vec{\jmath}_0,\\ & \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG} = -R\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_0 + R\dot{\phi}\cos\theta\,\vec{\jmath}_0 - R\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{k}_0. \end{array} }

La energía cinética de traslación es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_T = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,G}_{21}|^2 = \dfrac{1}{2}mR^2\left(\dot{\theta}^2 + \dot{\phi}^2(1+\cos\theta)^2\right). }

El otro sumando es la energía cinética de rotación. Podemos usar el momento cinético que ya hemos calculado. Además, podemos utilizar las expresiones de los vectores en la base 2, pues el producto escalar no depende de en que base se expresen los vectores

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_R = \dfrac{1}{2}\vec{\omega}_{21}\cdot\overset\leftrightarrow{I}_G\cdot\vec{\omega}_{21} = \dfrac{1}{2}\vec{\omega}_{21}\cdot\vec{L}_G = \dfrac{1}{2}I\left(\dot{\theta}^2 + \dot{\phi}^2\cos^2\theta\right). }

La energía cinética es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = T_T + T_R = \dfrac{1}{2}(mR^2+ I)\dot{\theta}^2 + \dfrac{1}{2}(mR^2(1+\cos\theta)^2 + I\cos^2\theta)\dot{\phi}^2. }

La energía potencial es únicamente gravitatoria. Escogiendo como altura de referencia el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1} vale

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U = -mgR\,\mathrm{sen}\,\theta. }

Hay que poner el signo menos pues debe ser menor que cero cuando el centro de la barra está por debajo del plano.

Desvinculación de la barra

Si imponemos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\phi}=\omega_0} , eliminamos un grado de libertad de movimiento. En este caso la reducción cinemática en A respecto del aro fijo es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21} = [0, \dot{\theta}, \omega_0]_0 \qquad \vec{v}^{\,A}_{21} = [0, R\omega_0, 0]_0 }

A partir de aquí la reducción vincular en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Gamma}_{21} = [\Gamma_x, 0, \Gamma_z]_0 \qquad \vec{A}_{21} = [A_x, A_y, A_z]_0 }

Las componentes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_y} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma_z} aparecen porque las componentes donde aparece Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_0} en la reducción cinemática son vínculos reónomos. El valor de esas componentes está prefijado, y para garantizar que esto ocurra siempre debe haber reacciones vinculares que lo hagan posible.

Tenemos así 6 incógnitas en el problema: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\theta, A_x, A_y, A_z, \Gamma_x, \Gamma_z\}} . De los teoremas fundamentales obtendríamos 6 ecuaciones escalares, por lo que el problema está bien definido.

Percusión

Utilizamos las ecuaciones de Lagrange percusivas para determinar el estado de la barra justo después de la percusión. En este caso hay sólo una ecuación, pues tenemos sólo un grado de libertad: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} .

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta p_{\theta} = \hat{Q}. }

Con la Lagrangiana que nos dan tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_{\theta} = \dfrac{\partial L}{\partial\dot{\theta}} = 2B\dot{\theta}. }

La variación del momento generalizado en la percusión es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta p_{\theta} = 2B\Delta\dot{\theta} = 2B\dot{\theta}^+. }

La percusión se aplica en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} de la barra. Necesitamos su velocidad absoluta

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{ll} \vec{v}^{\,B}_{21} & = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}\times\overrightarrow{AB} = -2R\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_0 + R\dot{\phi}(1+2\cos\theta)\,\vec{\jmath}_0 - 2R\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{k}_0 \\ & \vec{v}^{\,A}_{21} = R\dot{\phi}\,\vec{\jmath}_0,\\ & \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AB} = -2R\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_0 + 2R\dot{\phi}\cos\theta\,\vec{\jmath}_0 - 2R\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{k}_0. \end{array} }

La percusión generalizada es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \hat{Q} = \left.\vec{\hat{F}}\cdot\dfrac{\partial\vec{v}^{\,B}_{21}}{\partial\dot{\theta}}\right|_{\theta=\pi/2} = \left.-2R\hat{F}_0\,\mathrm{sen}\,\theta\right|_{\theta=\pi/2} = -2R\hat{F}_0. }

Obtenemos finalmente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta}^+ = -\dfrac{\hat{F}_0R}{B}. }

Las percusiones que actúan sobre la barra son Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\hat{F}}} y la percusión vincular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\hat{A}}} . La variación de la cantidad de movimiento de la barra en la percusión es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta \vec{C} = \vec{\hat{F}} + \vec{\hat{A}} }

Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta \vec{C} = \vec{C}^+ - \vec{C}^- = m(\vec{v}^{\,G+}_{22} - \vec{v}^{\,G-}_{21}) }

Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{v}^{\,G-}_{21} = [0, R\omega_0, 0]_0,\\ \\ \vec{v}^{\,G+}_{21} = \left[\dfrac{\hat{F}_0R^2}{B}, R\omega_0, 0\right]_0. \end{array} }

Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta\vec{C} = \dfrac{m\hat{F}_0R^2}{B}\,\vec{\imath}_0. }

Y la percusión vincular es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\hat{A}}_{21} = \Delta\vec{C} - \vec{\hat{F}} = \hat{F}_0\left(\dfrac{mR^2}{B}-1\right)\,\vec{\imath}_0 - \hat{F}_0\,\vec{\jmath}_0. }