Equilibrio de armadura con muelle, MR

Enunciado

En el sistema de la figura las barras tienen longitud $2d$ y masa $m$ cada una. La barra "2" está articulada en el punto fijo $A$, mientras que el extremo $C$ de la barra "0" puede deslizar sin rozamiento sobre la superficie vertical. El muelle que conecta los puntos $A$ y $C$ tiene constante elástica $k$ y longitud natural nula. El muelle se mantiene siempre vertical. La gravedad actúa como se indica en la figura.

1. Calcula la energía potencial del sistema.
2. Suponiendo que el muelle se ajusta de modo que $mg=kd$, determina los valores de $\theta$ para los que hay equilibrio mecánico. Discute la estabilidad de estas posiciones de equilibrio.
3. Si se aplica una fuerza ${\vec {F}}=F_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}$ sobre el punto $B$, con $F_{0}=2kd>0$, determina el nuevo valor de $\theta$ para que haya equilibrio mecánico.

Solución

Energía potencial

El sistema tiene sólo un grado de libertad, el ángulo $\theta$ indicado en la figura. La energía potencial del sistema tiene dos componentes: gravitatoria y elástica.

Escogemos como referencia de energía potencial gravitatoria la altura correspondiente a $x_{1}=0$. Los vectores de posición de los centros de las barra son

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {AG}}_{0}=3d\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+d\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{1}\\\\{\overrightarrow {AG}}_{2}=d\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+d\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}$

La energía potencial gravitatoria es la suma de la energía de cada una de las barras

$U_{g}=U_{g0}+U_{g2}=-mg{\overrightarrow {AG}}_{0}\cdot {\vec {\imath }}_{1}-mg{\overrightarrow {AG}}_{2}\cdot {\vec {\imath }}_{1}=-4mgd\,\mathrm {sen} \,\theta$

El muelle tiene longitud natural nula, por lo que la energía potencial elástica es

$U_{k}={\dfrac {1}{2}}k|{\overrightarrow {AC}}|^{2}=8kd^{2}\mathrm {sen} ^{2}\theta$

La energía potencial total es

$U=U_{g}+U_{k}=-4mgd\,\mathrm {sen} \,\theta +8kd^{2}\mathrm {sen} ^{2}\theta$

Equilibrio mecánico

Aplicando la condición $mg=kd$ la expresión de la energía potencial total es

$U=4kd^{2}(2\,\mathrm {sen} ^{2}\theta -\,\mathrm {sen} \,\theta )$

Como no hay fuerzas aplicadas no conservativas y los vínculos son ideales, las posiciones de equilibrio mecánico corresponden a los mínimos de la energía potencial. La derivada de la energía potencial respecto al grado de libertad es

${\dfrac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} \theta }}=4kd^{2}\,(4\cos \theta \,\mathrm {sen} \,\theta -\cos \theta )$

Igualando a cero esta derivada obtenemos las posiciones de equilibrio

${\begin{array}{lcl}\cos \theta =0&\to &\theta _{1}=\pi /2\\\mathrm {sen} \,\theta =1/4&\to &\theta _{2}=\mathrm {arcsen} (1/4)\end{array}}$

El primer valor corresponde a la situación en que las barras están completamente verticales y el muelle completamente estirado. Para discriminar la estabilidad del equilibrio debemos ver el signo de la segunda derivada evaluada en estos valores del ángulo. La derivada segunda es

${\dfrac {\mathrm {d} ^{2}U}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}=4kd^{2}\,(4-8\,\mathrm {sen} ^{2}\theta +\,\mathrm {sen} \,\theta )$

Entonces

${\begin{array}{lcl}\left.{\dfrac {\mathrm {d} ^{2}U}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}\right|_{\theta =\theta _{1}}=-12kd^{2}<0&\to &\mathrm {max} \\&&\\\left.{\dfrac {\mathrm {d} ^{2}U}{\mathrm {d} \theta ^{2}}}\right|_{\theta =\theta _{2}}=15kd^{2}<0&\to &\mathrm {min} \end{array}}$

Entonces, $\theta _{1}$ corresponde a un equilibrio inestable y $\theta _{2}$ a un equilibrio estable.

Alternativamente, podemos llegar a este resultado directamente a partir de la energía potencial. Completando cuadrados podemos escribirla en la forma

$U=8kd^{2}\left(\mathrm {sen} ^{2}\theta -{\frac {1}{2}}\mathrm {sen} \,\theta \right)=8kd^{2}\left(\left(\mathrm {sen} \,\theta -{\frac {1}{4}}\right)^{2}-{\frac {1}{16}}\right)$

Al ser el primer paréntesis siempre positivo, se ve que el mínimo en la energía se alcanza cuando se anula dicho paréntesis, es decir cuando $\mathrm {sen} \,\theta =1/4$.

Equilibrio con fuerza aplicada

Ahora se aplica una fuerza no conservativa sobre el sistema. La condición de equilibrio ahora es

${\dfrac {\mathrm {d} U}{\mathrm {d} \theta }}=Q_{\theta }^{NC}$

La fuerza generalizada es

$Q_{\theta }^{NC}={\vec {F}}\cdot {\dfrac {\partial {\vec {r}}^{B}}{\partial \theta }}$

con ${\vec {F}}=2kd\,{\vec {\imath }}_{1}$. Tenemos

${\vec {r}}^{\,B}={\overrightarrow {AB}}=2{\overrightarrow {AG}}_{0}=2d\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+2d\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{1}$

Entonces

$Q_{\theta }^{NC}=4kd^{2}\cos \theta$

La condición de equilibrio queda

$4kd^{2}\,(4\cos \theta \,\mathrm {sen} \,\theta -\cos \theta )=4kd^{2}\cos \theta \Longrightarrow 2\cos \theta \,\mathrm {sen} \,\theta =\cos \theta$

Tenemos de nuevo dos soluciones

${\begin{array}{lcl}\cos \theta =0&\to &\theta _{1}=\pi /2\\\mathrm {sen} \,\theta =1/2&\to &\theta _{2}=\pi /6\end{array}}$

No se pedía discutir la estabilidad de estas soluciones, pues no basta con examinar la segunda derivada de la energía potencial.