Disco sobre barra en forma de L (MR G.I.C.)

Enunciado

El disco homogéneo de la figura (sólido "2") tiene masa $m$ y radio $R$. Está conectado por su centro $G$ con una estructura (sólido "0") formada por dos barras perpendiculares de masas despreciables y longitud $R$ cada una. El disco puede rotar alrededor del eje $AG$, mientras que el sólido "0" puede rotar respecto a la línea $OA$. Se escoge unos ejes intermedios $OX_{0}Y_{0}Z_{0}$ de modo que el plano $OX_{0}Y_{0}$ contiene siempre al sólido "0" y al centro del disco $G$. Los ejes $GX_{2}Y_{2}Z_{2}$ son solidarios con el disco. El eje $GY_{2}$ es paralelo al eje $OY_{0}$, por lo que el plano $GX_{2}Z_{2}$ es siempre paralelo al plano $OX_{0}Z_{0}$ y el eje $GX_{2}$ forma un ángulo $\psi$ con la dirección del eje $X_{1}$. El sistema está sometido a la acción de la gravedad con la dirección y sentido indicada en la figura.

1. Determina las reducciones cinemáticas de los movimientos {01}, {20} y {21} en el centro de masas del disco, así como la derivada temporal del {21}. Determina el eje instantáneo de rotación del movimiento {21}.
2. Calcula el momento cinético del disco respecto a $G$, su energía cinética y su energía potencial.
3. Encuentra las integrales primeras del movimiento que puedas, justificando porqué lo son.
4. Supongamos a partir de ahora que $\theta =\pi /2$ en todo instante.¿Como es la reducción cinemática {21} en $G$ y su derivada temporal?
5. En este último caso, calcula la desvinculación global {21} en G. Aplicando los teoremas fundamentales, encuentra la ecuación de movimiento para el grado de libertad restante.

Solución

Reducciones cinemáticas

Movimiento {01}

La línea $OA$ es fija. Tenemos

${\vec {v}}_{01}^{\,O}={\vec {0}},\qquad {\vec {\omega }}_{01}={\dot {\theta }}\,{\vec {\imath }}_{0}$

La derivada temporal es

${\vec {a}}_{01}^{\,O}={\vec {0}},\qquad {\vec {\alpha }}_{01}={\ddot {\theta }}\,{\vec {\imath }}_{0}$

Movimiento {20}

Esto es una rotación de eje permanente $GY_{0}$

${\vec {v}}_{20}^{\,G}={\vec {0}},\qquad {\vec {\omega }}_{20}={\dot {\psi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}$

La derivada temporal es

${\vec {a}}_{20}^{\,G}={\vec {0}},\qquad {\vec {\alpha }}_{20}={\ddot {\psi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}$

Movimiento {21}

Usamos las leyes de composición

${\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}={\dot {\theta }}\,{\vec {\imath }}_{0}+{\dot {\psi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}\\{\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}={\ddot {\theta }}\,{\vec {\imath }}_{0}+{\ddot {\psi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}+{\dot {\theta }}{\dot {\psi }}\,{\vec {k}}_{0}\end{array}}$

Para las velocidades y aceleraciones absolutas de $G$ tenemos

${\begin{array}{ll}{\vec {v}}_{21}^{\,G}&={\vec {v}}_{20}^{\,G}+{\vec {v}}_{01}^{\,G}=R{\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{0}\\&{\vec {v}}_{20}^{\,G}={\vec {0}}\\&{\vec {v}}_{01}^{\,G}={\vec {v}}_{01}^{\,O}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OG}}=({\dot {\theta }}\,{\vec {\imath }}_{0})\times (R\,{\vec {\imath }}_{0}+R{\vec {\jmath }}_{0})=R{\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{0}\\&\\{\vec {a}}_{21}^{\,G}&={\vec {a}}_{20}^{\,G}+{\vec {a}}_{01}^{\,G}+2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,G}=-R{\dot {\theta }}^{2}\,{\vec {\jmath }}_{0}+R{\ddot {\theta }}\,{\vec {k}}_{0}\\&{\vec {a}}_{20}^{\,G}={\vec {0}}\\&{\vec {a}}_{01}^{\,G}={\vec {a}}_{01}^{\,O}+{\vec {\alpha }}_{01}\times {\overrightarrow {OG}}+{\vec {\omega }}_{01}\times ({\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OG}})=-R{\dot {\theta }}^{2}\,{\vec {\jmath }}_{0}+R{\ddot {\theta }}\,{\vec {k}}_{0}\\&2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,G}={\vec {0}}\end{array}}$

Para localizar un punto del eje $\Delta _{21}$ hacemos

${\overrightarrow {GI^{*}}}_{21}={\dfrac {{\vec {\omega }}_{21}\times {\vec {v}}_{21}^{\,G}}{|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}}}={\dfrac {R{\dot {\theta }}}{{\dot {\psi }}^{2}+{\dot {\theta }}^{2}}}\,({\dot {\psi }}\,{\vec {\imath }}_{0}-{\dot {\theta }}\,{\vec {\jmath }}_{0})$

El movimiento {21} es una rotación pura pues

${\vec {\omega }}_{21}\neq {\vec {0}}\,\qquad {\vec {\omega }}_{21}\cdot {\vec {v}}_{21}^{\,G}=0$

Cinética

El tensor de inercia en $G$ es

${\overset {\leftrightarrow }{I}}_{G}=I\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{array}}\right]_{0}\qquad \qquad I=mR^{2}/4$

En principio el tensor de inercia debe expresarse en el sistema "2", solidario con el disco. Pero los ejes $GY_{0}$ y $GY_{2}$ coinciden, y el disco tiene simetría de revolución alrededor de ellos. Por tanto, cualquier par de ejes perpendiculares a $GY0$ es un par de ejes principales. Por tanto, podemos usar el sistema "0" para calcular el momento cinético. Tenemos entonces

${\vec {L}}_{G}={\overset {\leftrightarrow }{I}}_{G}\cdot {\vec {\omega }}_{21}={\overset {\leftrightarrow }{I}}_{G}=I\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{array}}\right]_{0}\left[{\begin{array}{c}{\dot {\theta }}\\{\dot {\psi }}\\0\end{array}}\right]_{0}=\left[{\begin{array}{c}I{\dot {\theta }}\\2I{\dot {\psi }}\\0\end{array}}\right]_{0}$

La energía cinética consta de la parte de traslación del centro de masas y de rotación

${\begin{array}{l}T_{T}={\dfrac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{21}^{\,}|^{2}={\dfrac {1}{2}}mR^{2}{\dot {\theta }}^{2}\\\\T_{R}={\dfrac {1}{2}}{\vec {L}}_{G}\cdot {\vec {\omega }}_{21}={\dfrac {1}{2}}I({\dot {\theta }}^{2}+2I{\dot {\psi }}^{2})\\\\T=T_{T}+T_{R}={\dfrac {1}{8}}mR^{2}(5{\dot {\theta }}^{2}+2{\dot {\psi }}^{2})\end{array}}$

Para la energía potencial gravitatoria tomamos como origen el plano $OX_{1}Y_{1}$. Tenemos

$U=mgR\,\mathrm {sen} \,\theta$

Integrales primeras del movimiento

Las fuerzas y pares vinculares no hacen trabajo. Sólo el peso hace trabajo. Entonces se conserva la energía mecánica.

$E=T+U={\dfrac {1}{8}}mR^{2}(5{\dot {\theta }}^{2}+2{\dot {\psi }}^{2})+mgR\,\mathrm {sen} \,\theta =\mathrm {cte}$

Las fuerzas que actúan sobre el disco son el peso y la fuerza vincular de la barra, ambas aplicadas en $G$. Hay un par de fuerzas vincular ejercido por la barra

${\vec {\Gamma }}_{20}=[\Gamma _{x},0,\Gamma _{z}]_{0}$

Así pues, las fuerzas sobre el disco cortan al eje $GY_{0}$ y el par vincular no tiene componente sobre este eje. Entonces, la proyección del momento angular sobre ese eje se conserva

${\vec {L}}_{G}\cdot {\vec {\jmath }}_{0}={\dfrac {1}{2}}mR^{2}{\dot {\psi }}=\mathrm {cte} \Longrightarrow {\dot {\psi }}=\mathrm {cte}$

Caso $\theta =\pi /2$

En esta situación los ejes del sistema "0" coinciden con los del "1". Tenemos

${\dot {\theta }}={\ddot {\theta }}=0$

La reducción cinemática pedida es

${\vec {v}}_{21}^{\,G}={\vec {0}},\quad {\vec {\omega }}_{21}={\dot {\psi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}$

Su derivada es

${\vec {a}}_{21}^{\,G}={\vec {0}},\quad {\vec {\alpha }}_{21}={\ddot {\psi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}$

El movimiento es simplemente una rotación alrededor de su eje de simetría fijo.

Desvinculación global y ecuación de movimiento

De la reducción cinemática obtenemos que la reducción vincular en este caso simplificado es

${\vec {\Phi }}_{21}^{\,G}=[G_{x},G_{y},G_{z}]_{0},\qquad {\vec {\Gamma }}_{21}=[\Gamma _{x},0,\Gamma _{z}]_{0}$

Podemos obtener una ecuación para el grado de libertad de movimiento aplicando el Teorema del Momento Cinético en el centro de masas del disco

${\dot {\vec {L}}}_{G}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {L}}_{G}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {M}}_{neto}^{\,G}={\vec {\Gamma }}_{21}$

En este caso los sistemas "0" y "1" coinciden en todo instante de tiempo. Por tanto

${\dot {\vec {L}}}_{G}={\dfrac {1}{2}}mR^{2}{\ddot {\psi }}\,{\vec {\jmath }}_{0,1}$

Como la componente en ${\vec {\jmath }}_{0,1}$ del par neto es nula, tenemos

${\ddot {\psi }}=0\Longrightarrow {\dot {\psi }}={\dot {\psi }}(0)=\mathrm {cte}$