Disco sobre barra en forma de L (MR G.I.C.)

Enunciado

El disco homogéneo de la figura (sólido "2") tiene masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} y radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} . Está conectado por su centro Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} con una estructura (sólido "0") formada por dos barras perpendiculares de masas despreciables y longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} cada una. El disco puede rotar alrededor del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle AG} , mientras que el sólido "0" puede rotar respecto a la línea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OA} . Se escoge unos ejes intermedios Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0Y_0Z_0} de modo que el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0Y_0} contiene siempre al sólido "0" y al centro del disco Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} . Los ejes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle GX_2Y_2Z_2} son solidarios con el disco. El eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle GY_2} es paralelo al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY_0} , por lo que el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle GX_2Z_2} es siempre paralelo al plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_0Z_0} y el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle GX_2} forma un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \psi} con la dirección del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X_1} . El sistema está sometido a la acción de la gravedad con la dirección y sentido indicada en la figura.

1. Determina las reducciones cinemáticas de los movimientos {01}, {20} y {21} en el centro de masas del disco, así como la derivada temporal del {21}. Determina el eje instantáneo de rotación del movimiento {21}.
2. Calcula el momento cinético del disco respecto a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} , su energía cinética y su energía potencial.
3. Encuentra las integrales primeras del movimiento que puedas, justificando porqué lo son.
4. Supongamos a partir de ahora que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta = \pi/2} en todo instante.¿Como es la reducción cinemática {21} en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} y su derivada temporal?
5. En este último caso, calcula la desvinculación global {21} en G. Aplicando los teoremas fundamentales, encuentra la ecuación de movimiento para el grado de libertad restante.

Solución

Reducciones cinemáticas

Movimiento {01}

La línea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OA} es fija. Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,O}_{01} = \vec{0}, \qquad \vec{\omega}_{01} = \dot{\theta}\,\vec{\imath}_0 }

La derivada temporal es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,O}_{01} = \vec{0},\qquad \vec{\alpha}_{01} = \ddot{\theta}\,\vec{\imath}_0 }

Movimiento {20}

Esto es una rotación de eje permanente Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle GY_0}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,G}_{20} = \vec{0}, \qquad \vec{\omega}_{20} = \dot{\psi}\,\vec{\jmath}_0 }

La derivada temporal es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,G}_{20} = \vec{0},\qquad \vec{\alpha}_{20} = \ddot{\psi}\,\vec{\jmath}_0 }

Movimiento {21}

Usamos las leyes de composición

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} = \dot{\theta}\,\vec{\imath}_0 + \dot{\psi}\,\vec{\jmath}_0 \\ \vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20} = \ddot{\theta}\,\vec{\imath}_0 + \ddot{\psi}\,\vec{\jmath}_0 + \dot{\theta}\dot{\psi}\,\vec{k}_0 \end{array} }

Para las velocidades y aceleraciones absolutas de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{ll} \vec{v}^{\,G}_{21} & = \vec{v}^{\,G}_{20} + \vec{v}^{\,G}_{01} = R\dot\theta\,\vec{k}_0\\ & \vec{v}^{\,G}_{20} = \vec{0}\\ & \vec{v}^{\,G}_{01} = \vec{v}^{\,O}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OG}= (\dot{\theta}\,\vec{\imath}_0)\times(R\,\vec{\imath}_0 + R\vec{\jmath}_0) = R\dot\theta\,\vec{k}_0\\ &\\ \vec{a}^{\,G}_{21} & = \vec{a}^{\,G}_{20} + \vec{a}^{\,G}_{01} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,G}_{20} = -R\dot{\theta}^2\,\vec{\jmath}_0 + R\ddot\theta\,\vec{k}_0\\ & \vec{a}^{\,G}_{20} = \vec{0}\\ & \vec{a}^{\,G}_{01} = \vec{a}^{\,O}_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OG} + \vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OG})= -R\dot{\theta}^2\,\vec{\jmath}_0 + R\ddot\theta\,\vec{k}_0\\ & 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,G}_{20} = \vec{0} \end{array} }

Para localizar un punto del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta_{21}} hacemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{GI^*}_{21} = \dfrac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}^{\,G}_{21}}{|\vec{\omega}_{21}|^2} = \dfrac{R\dot{\theta}}{\dot{\psi}^2+\dot{\theta}^2}\,(\dot{\psi}\,\vec{\imath}_0 -\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_0) }

El movimiento {21} es una rotación pura pues

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21}\neq \vec{0}\,\qquad \vec{\omega}_{21}\cdot\vec{v}^{\,G}_{21}=0 }

Cinética

El tensor de inercia en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overset\leftrightarrow{I}_G = I \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]_0 \qquad\qquad I = mR^2/4 }

En principio el tensor de inercia debe expresarse en el sistema "2", solidario con el disco. Pero los ejes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle GY_0} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle GY_2} coinciden, y el disco tiene simetría de revolución alrededor de ellos. Por tanto, cualquier par de ejes perpendiculares a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle GY0} es un par de ejes principales. Por tanto, podemos usar el sistema "0" para calcular el momento cinético. Tenemos entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_{G} = \overset\leftrightarrow{I}_G\cdot\vec{\omega}_{21} = \overset\leftrightarrow{I}_G = I \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]_0 \left[ \begin{array}{c} \dot{\theta} \\ \dot{\psi} \\ 0 \end{array} \right]_0 = \left[ \begin{array}{c} I\dot{\theta} \\ 2I\dot{\psi} \\ 0 \end{array} \right]_0 }

La energía cinética consta de la parte de traslación del centro de masas y de rotación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} T_{T} = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,}_{21}|^2 = \dfrac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^2\\ \\ T_{R} = \dfrac{1}{2}\vec{L}_G\cdot\vec{\omega}_{21} = \dfrac{1}{2}I(\dot{\theta}^2+2I\dot{\psi}^2) \\ \\ T = T_{T} + T_R = \dfrac{1}{8}mR^2(5\dot{\theta}^2+2\dot{\psi}^2) \end{array} }

Para la energía potencial gravitatoria tomamos como origen el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1} . Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U = mgR\,\mathrm{sen}\,\theta }

Integrales primeras del movimiento

Las fuerzas y pares vinculares no hacen trabajo. Sólo el peso hace trabajo. Entonces se conserva la energía mecánica.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E = T + U = \dfrac{1}{8}mR^2(5\dot{\theta}^2+2\dot{\psi}^2) + mgR\,\mathrm{sen}\,\theta = \mathrm{cte} }

Las fuerzas que actúan sobre el disco son el peso y la fuerza vincular de la barra, ambas aplicadas en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} . Hay un par de fuerzas vincular ejercido por la barra

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Gamma}_{20} = [\Gamma_x, 0, \Gamma_z]_0 }

Así pues, las fuerzas sobre el disco cortan al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle GY_0} y el par vincular no tiene componente sobre este eje. Entonces, la proyección del momento angular sobre ese eje se conserva

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_G\cdot\vec{\jmath}_0 = \dfrac{1}{2}mR^2\dot{\psi}=\mathrm{cte} \Longrightarrow \dot{\psi}=\mathrm{cte} }

Caso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta=\pi/2}

En esta situación los ejes del sistema "0" coinciden con los del "1". Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\theta} = \ddot{\theta}=0 }

La reducción cinemática pedida es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{0}, \quad \vec{\omega}_{21} = \dot{\psi}\,\vec{\jmath}_0 }

Su derivada es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,G}_{21} = \vec{0}, \quad \vec{\alpha}_{21} = \ddot{\psi}\,\vec{\jmath}_0 }

El movimiento es simplemente una rotación alrededor de su eje de simetría fijo.

Desvinculación global y ecuación de movimiento

De la reducción cinemática obtenemos que la reducción vincular en este caso simplificado es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}^{\,G}_{21} = [ G_x, G_y, G_z]_0, \qquad \vec{\Gamma}_{21} = [\Gamma_x, 0, \Gamma_z]_0 }

Podemos obtener una ecuación para el grado de libertad de movimiento aplicando el Teorema del Momento Cinético en el centro de masas del disco

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\vec{L}}_G = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_G}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{M}^{\,G}_{neto} = \vec{\Gamma}_{21} }

En este caso los sistemas "0" y "1" coinciden en todo instante de tiempo. Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\vec{L}}_G = \dfrac{1}{2}mR^2\ddot{\psi}\,\vec{\jmath}_{0,1} }

Como la componente en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\jmath}_{0,1}} del par neto es nula, tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\psi}=0 \Longrightarrow \dot{\psi}= \dot{\psi}(0) = \mathrm{cte} }