Tabla de fórmulas de trigonometría

Ángulos

Definición

Complementario y suplementario

Complementario

Suplementario

Opuestos por el vértice y alternos

Rotación de ejes

Mismo origen

Diferente origen

Definiciones

Geométrica

Coseno

$\cos(x)={\frac {a}{r}}$

Seno

$\mathrm {sen} (x)={\frac {b}{r}}$

Analítica

El argumento $x$ debe estar expresado en radianes

$\cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots$

$\mathrm {sen} (x)=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots$

Exponenciales complejas

($\mathrm {j} ={\sqrt {-1}}$)

$\cos(x)={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} x}}{2}}$

$\mathrm {sen} (x)={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {j} x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} x}}{2\mathrm {j} }}$

Funciones adicionales

Tangente

$\mathrm {tg} (x)={\frac {\mathrm {sen} (x)}{\cos(x)}}={\frac {b}{a}}$

Cotangente

$\mathrm {cotg} (x)={\frac {\cos(x)}{\mathrm {sen} (x)}}={\frac {1}{\mathrm {tg} (x)}}={\frac {a}{b}}$

Secante

$\mathrm {sec} (x)={\frac {1}{\cos(x)}}={\frac {r}{a}}$

Cosecante

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{cosec}(x) = \frac{1}{\mathrm{sen}(x)}=\frac{r}{b}}

En la circunferencia unidad

Gráficas desde −π a π

Seno y coseno

Tangente y cotangente

Secante y cosecante

Relaciones entre funciones

Identidades básicas

$\cos ^{2}(x)+\mathrm {sen} ^{2}(x)=1\,$

$1+\mathrm {tg} ^{2}(x)=\mathrm {sec} ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}\,$

$\mathrm {cotg} ^{2}(x)+1=\mathrm {cosec} ^{2}(x)={\frac {1}{\mathrm {sen} ^{2}(x)}}\,$

En función de la tangente

$u=\mathrm {tg} (x)\,$

$\mathrm {sen} (x)={\frac {u}{\sqrt {1+u^{2}}}}$

$\cos(x)={\frac {1}{\sqrt {1+u^{2}}}}$

En función de la tangente del ángulo mitad

$u=\mathrm {tg} \left({\frac {x}{2}}\right)\,$

$\mathrm {sen} (x)={\frac {2u}{1+u^{2}}}$

$\cos(x)={\frac {1-u^{2}}{1+u^{2}}}$

$\mathrm {tg} (x)={\frac {2u}{1-u^{2}}}$

Tabla de valores particulares

°	rad	sen	cos	tg
$0\,$	$0\,$	${\sqrt {0}}/2=0$	$1\,$	$0\,$
$30\,$	$\pi /6\,$	${\sqrt {1}}/2=1/2\,$	${\sqrt {3}}/2$	$1/{\sqrt {3}}$
$45\,$	$\pi /4\,$	${\sqrt {2}}/2$	${\sqrt {2}}/2$	$1\,$
$60\,$	$\pi /3\,$	${\sqrt {3}}/2$	$1/2\,$	${\sqrt {3}}$
$90\,$	$\pi /2\,$	${\sqrt {4}}/2=1$	$0\,$	$\infty$

Relaciones entre cuadrantes

Ángulo complementario

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{sen}\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x)\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\mathrm{sen}(x)}

Ángulo suplementario

$\mathrm {sen} \left(\pi -x\right)=\mathrm {sen} (x)\qquad \cos \left(\pi -x\right)=-\cos(x)$

Giro de un cuadrante

$\mathrm {sen} \left({\frac {\pi }{2}}+x\right)=\cos(x)\qquad \cos \left({\frac {\pi }{2}}+x\right)=-\mathrm {sen} (x)$

Giro de dos cuadrantes

$\mathrm {sen} \left(\pi +x\right)=-\mathrm {sen} (x)\qquad \cos \left(\pi +x\right)=-\cos(x)$

Cambio de signo

$\mathrm {sen} \left(-x\right)=-\mathrm {sen} (x)\qquad \cos \left(-x\right)=\cos(x)$

Suma y diferencia de ángulos

Seno

$\mathrm {sen} (x+y)=\mathrm {sen} (x)\cos(y)+\cos(x)\mathrm {sen} (y)\,$

$\mathrm {sen} (x-y)=\mathrm {sen} (x)\cos(y)-\cos(x)\mathrm {sen} (y)\,$

Coseno

$\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\mathrm {sen} (x)\mathrm {sen} (y)\,$

$\cos(x-y)=\cos(x)\cos(y)+\mathrm {sen} (x)\mathrm {sen} (y)\,$

Tangente

$\mathrm {tg} (x+y)={\frac {\mathrm {tg} (x)+\mathrm {tg} (y)}{1-\mathrm {tg} (x)\mathrm {tg} (y)}}$

$\mathrm {tg} (x-y)={\frac {\mathrm {tg} (x)-\mathrm {tg} (y)}{1+\mathrm {tg} (x)\mathrm {tg} (y)}}$

Ángulo doble y ángulo mitad

Ángulo doble

Seno

$\mathrm {sen} (2x)=2\,\mathrm {sen} (x)\cos(x)\,$

Coseno

$\cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\mathrm {sen} ^{2}(x)\,$

Tangente

$\mathrm {tg} (2x)={\frac {2\,\mathrm {tg} (x)}{1-\mathrm {tg} ^{2}(x)}}$

Ángulo mitad

Seno

$\mathrm {sen} \left({\frac {x}{2}}\right)={\sqrt {\frac {1-\cos(x)}{2}}}$

Coseno

$\cos \left({\frac {x}{2}}\right)={\sqrt {\frac {1+\cos(x)}{2}}}$

Tangente

$\mathrm {tg} \left({\frac {x}{2}}\right)={\sqrt {\frac {1-\cos(x)}{1+\cos(x)}}}={\frac {\mathrm {sen} (x)}{1+\cos(x)}}$

Sumas en productos

$\mathrm {sen} (x)+\mathrm {sen} (y)=2\,\mathrm {sen} \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\mathrm {sen} (x)-\mathrm {sen} (y)=2\,\mathrm {sen} \left({\frac {x-y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)$

$\cos(x)+\cos(y)=2\cos \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cos \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

$\cos(x)-\cos(y)=-2\,\mathrm {sen} \left({\frac {x+y}{2}}\right)\mathrm {sen} \left({\frac {x-y}{2}}\right)$

Derivadas y primitivas

El argumento debe estar obligatoriamente en radianes

Derivadas

${\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} x}}(\mathrm {sen} (x))=\cos(x)$

${\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} x}}(\cos(x))=-\,\mathrm {sen} (x)$

${\frac {\mathrm {d} \ }{\mathrm {d} x}}(\mathrm {tg} (x))={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=1+\mathrm {tg} ^{2}(x)$

Primitivas

$\int \mathrm {sen} (x)\mathrm {d} x=-\cos(x)+C$

$\int \cos(x)\mathrm {d} x=\mathrm {sen} (x)+C$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \mathrm{tg}(x)\mathrm{d}x = -\ln(\cos(x))+C}

Fórmula de Euler

Fórmula general

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{e}^{\mathrm{j}x}=\cos(x)+\mathrm{j}\,\mathrm{sen}(x)\qquad (\mathrm{j}=\sqrt{-1})}

Casos particulares

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{e}^{\mathrm{j}\pi/2} = \mathrm{j}\,}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{e}^{\mathrm{j}\pi} = -1\,}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{e}^{2\pi\mathrm{j}} = 1\,}

Teoremas del seno y del coseno

Teorema del seno

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{a}{\mathrm{sen}(\alpha)}=\frac{b}{\mathrm{sen}(\beta)}=\frac{c}{\mathrm{sen}(\gamma)}=2R}

(Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} : radio de la circunferencia circunscrita)

Teorema del coseno

Misma notación que en el teorema del seno

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a^2 = b^2 + c^2-2bc\cos(\alpha)\,}

y las correspondientes a los otros dos ángulos.

Resolución de triángulos

Misma notación que en el teorema del seno y del coseno.

Se trata de dados tres datos (lados o ángulos) hallar los tres restantes.

Dados los tres lados

Por el teorema del coseno se determinan los tres ángulos. Para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha=\arccos\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}

y análogamente para los otros dos.

Dados dos lados y el ángulo que abarcan

Si conocemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} y el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \gamma} por el teorema del coseno hallamos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos(\gamma)}}

una vez conocidos los tres lados podemos aplicar el caso anterior o bien emplear el teorema del seno

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha=\mathrm{arcsen}\left(\frac{a}{c}\mathrm{sen}(\gamma)\right)}

Dados dos lados y otro ángulo

Si conocemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b} y el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta} por el teorema del seno hallamos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha=\mathrm{arcsen}\left(\frac{a}{b}\mathrm{sen}(\beta)\right)}

y aplicando que los ángulos suman Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \gamma=\pi-\alpha-\beta\,}

y a partir de ahí se sigue como en los casos anteriores.

Dado un lado y dos ángulos

Si concemos el lado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a} y los ángulos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \gamma} , hallamos en primer lugar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha=\pi-\beta-\gamma\,}

y luego aplicamos el teorema del seno

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b = a\frac{\mathrm{sen}(\beta)}{\mathrm{sen}(\alpha)}\qquad\qquad c = a\frac{\mathrm{sen}(\gamma)}{\mathrm{sen}(\alpha)}}

Dados los tres ángulos

En ese caso no se pueden dar los tres lados, ya que todos los triángulos semejantes tienen los mismos ángulos independientemente de su tamaño. No obstante, puede darse a proporción entre sus lados mediante el teorema del seno.