Barra con muelle horizontal, Febrero 2016 (MR G.I.C.)

Enunciado

Una barra de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2a} y masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} (sólido "2") desliza con un extremo (punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} ) apoyado sobre un plano horizontal liso. El extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} está unido a un muelle de constante elástica k y longitud natural nula anclado en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} que se mantiene siempre horizontal. La gravedad actúa verticalmente hacia abajo. En Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} la barra estaba en reposo, el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} coincidía con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1} y la barra estaba completamente vertical.

1. Encuentra la expresión que da la cantidad de movimiento de la barra.
2. Encuentra la expresión que da el momento cinético de la barra respecto del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A } .
3. Determina las ecuaciones de movimiento del sistema.
4. ¿Cómo es la fuerza de ligadura en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A } ?
5. Supongamos que se fuerza al punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} a moverse con velocidad uniforme Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,A}_{21} = v_0\,\vec{\imath}_1} . ¿Cual de estas fuerzas aplicadas en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} consigue ese efecto?

Solución

Cantidad de movimiento

Vamos a determinar la reducción cinemática de la barra. Al ser un movimiento plano, y dado que el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X_2 } forma un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta } con el eje fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X_1 } , el vector rotación es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21} = \dot{\theta}\,\vec{k} }

Por otro lado, la velocidad absoluta del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A } de la barra es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,A}_{21} = \dot{s}\,\vec{\imath}_1 }

Ahora calculamos la velocidad en el centro de masas de la barra

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG} }

Como

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AG} = a\,\vec{\imath}_2 = a\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1 }

tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,G}_{21} = (\dot{s} - a\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta )\,\vec{\imath}_1 + a\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}_1 }

y la cantidad de movimiento de la barra es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{C} = m\vec{v}^{\,G}_{21} = m(\dot{s} - a\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta )\,\vec{\imath}_1 + ma\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}_1 }

Momento cinético en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A}

Calculamos primero el momento cinético en el centro de masas de la barra. El ser un movimiento plano, el momento cinético y el vector rotación son paralelos. La relación entre ellos es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_G = I\,\vec{\omega}_{21} }

Aquí, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I} es el momento de inercia de la barra respecto a un eje perpendicular a ella que pase por el centro de masas:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I = \dfrac{1}{12}m(2a)^2 = \dfrac{1}{3}ma^2 }

Entonces el momento cinético en el centro de masas es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_G = I\dot{\theta}\,\vec{k} }

No ponemos subíndice en el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}} pues, en un movimiento plano, es el mismo para todos los sólidos.

Calculamos ahora el momento cinético en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} usando la ecuación del campo de momentos cinéticos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_A = \vec{L}_G + \vec{C}\times\overrightarrow{GA} = \vec{L}_G - \vec{C}\times\overrightarrow{AG} }

Haciendo el cálculo tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_A = (-ma\dot{s}\,\mathrm{sen}\,\theta + (I+ma^2)\dot{\theta})\,\vec{k} }

Ecuaciones de movimiento del sistema

Vamos a usar los métodos de la Dinámica Vectorial. Primero dibujamos el diagrama de fuerzas y momentos que actúan sobre la barra. La única ligadura que actúa, (aparte del hecho de que el movimiento es plano) es la que impone que el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} de la barra no puede penetrar en el suelo. Por tanto hay que introducir una fuerza de ligadura en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} con componente vertical no nula. Por otro lado, hay dos fuerzas activas actuando sobre la barra: el peso, aplicado en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} , y la fuerza que ejerce el muelle en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} . Expresamos estas fuerzas en la base "1"

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{P} = -mg\,\vec{\jmath}_1\\ \\ \vec{F}_k = -k(s-d)\,\vec{\imath}_1\\ \\ \vec{N}_A = N\,\vec{\jmath}_1 \end{array} }

T.C.M.

El Teorema de la Cantidad de Movimiento nos dice

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\vec{C}} = \vec{P} + \vec{F}_k + \vec{N}_A }

Para calcular la derivada de la cantidad de movimiento, calculamos primero la derivada temporal de la reducción cinemática en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{a}^{\,A}_{21} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,A}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \ddot{s}\,\vec{\imath}_1 \\ \\ \vec{\alpha}_{21} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \ddot{\theta}\,\vec{\imath}_1 \end{array} }

Ahora usamos la ecuación del campo de aceleraciones para calcular la aceleración absoluta del centro de masas de la barra

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{\,G}_{21} = \vec{a}^{\,A}_{21} + \vec{\alpha}\times\overrightarrow{AG} - |\vec{\omega}_{21}|^2\overrightarrow{AG} = (\ddot{s} - a\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta -a\dot{\theta}^2\cos\theta)\,\vec{\imath}_1 + (a\ddot{\theta}\cos\theta - a\ddot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\jmath}_1 }

Esta aceleración también puede calcularse derivando respecto al tiempo la expresión de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,G}_{21}} . La derivada temporal de la cantidad de movimiento es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\vec{C}} = m\vec{a}^{\,G}_{21} = m(\ddot{s} - a\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta -a\dot{\theta}^2\cos\theta)\,\vec{\imath}_1 + m(a\ddot{\theta}\cos\theta - a\ddot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\jmath}_1 }

Cada componente del T.C.M. nos da una ecuación diferencial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{llr} (X): & m(\ddot{s} - a\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta -a\dot{\theta}^2\cos\theta) = -k(s-d) & (1) \\ &&\\ (Y): & m(a\ddot{\theta}\cos\theta - a\ddot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\,\theta) = -mg + N & (2) \end{array} }

T.M.C.

Vamos a aplicar el Teorema del Momento Cinético en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} , pues así sólo el peso interviene en el momento neto de las fuerzas. El punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} es móvil, por lo que el teorema se escribe

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\vec{L}}_A = \vec{M}^{\mathrm{ext}}_A + \vec{C}\times\dot{\overrightarrow{O_1A}} }

La derivada del momento cinético es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\vec{L}}_A = ( (I+ma^2)\ddot{\theta} - ma\ddot{s}\,\mathrm{sen}\,\theta - ma\dot{s}\dot{\theta}\cos\theta)\,\vec{k} }

Sólo el peso ejerce momento

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{M}^{\mathrm{ext}}_A = \overrightarrow{AG}\times\vec{P} = -mga\cos\theta }

El término que falta es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{C}\times\dot{\overrightarrow{O_1A}} = \vec{C}\times(\dot{s}\,\vec{\imath}_1) = -ma\dot{s}\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{k} }

Por tanto, la ecuación que obtenemos del T.M.C. es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (I+ma^2)\ddot{\theta} - ma\ddot{s}\,\mathrm{sen}\,\theta = -mga\cos\theta \qquad (3) }

Las ecuaciones (1) y (3) son ecuaciones diferenciales para los grados de libertad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{s(t), \theta(t)} . La ecuación (2) nos da el valor de la fuerza de ligadura

Fuerza de ligadura en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A}

Usando la ecuación (2) tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}_A = (mg-ma\dot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\,\theta + ma\ddot{\theta}\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1 }

Movimiento de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} restingido

Para imponer el movimiento del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} hay que aplicar una fuerza de ligadura extra, pues lo que se impone es una traslación restringida. Esta fuerza es de la forma

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_A = F\,\vec{\imath}_1 }

Este vínculo disminuye en 1 el número de grados de libertad. Las incógnitas ahora son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\theta, N, F\} }

Aplicamos de nuevo los teoremas T.C.M. and T.M.C. para encontrar ecuaciones para estas incógnitas. En realidad, lo único que cambia en el problema es la aplicación del T.C.M., Como la fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_A} está aplicada en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} , no ejerce momento respecto a ese punto, y la aplicación del T.M.C. no cambia. En el T.C.M. sólo hay que añadir un término en la componente Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} . Imponemos ademas las consecuencias de la ligadura sobre el desplazamiento de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t) = v_0t, \qquad \dot{s}=v_0, \qquad \ddot{s}=0 }

Hemos usado que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(0)=0} para obtener la primera expresión. El T.C.M. ahora es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\vec{C}} = \vec{P} + \vec{F}_k + \vec{N}_A + \vec{F}_A }

Cada componente nos da una ecuación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{llr} (X): & F_A = a\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta +a\dot{\theta}^2\cos\theta -\dfrac{k}{m}(v_0t-d) & (4) \\ &&\\ (Y): & N = mg + m(a\ddot{\theta}\cos\theta - a\ddot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\,\theta) & (5) \end{array} }

El T.M.C. nos da la ecuación de movimiento para Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\theta} = -\dfrac{mga}{I+ma^2}\cos\theta \qquad (6) }

Puede sustituirse el valor Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{\theta}} dado por (6) en la ecuación (4)