Disco con muelle (Ene. 2020 G.I.C.)

Enunciado

El disco de la figura tiene masa $m$ y radio $R$. El muelle tiene constante elástica $k$ y longitud natural nula. El muelle se mantiene siempre horizontal. Se aplica en el centro del disco $C$ una fuerza ${\vec {F}}$ horizontal. El contacto entre el disco y el suelo es rugoso con coeficiente de rozamiento estático $\mu$.

1. Dibuja el diagrama de cuerpo libre del disco.
2. ¿Cuál debe ser el valor de ${\vec {F}}$ para que el disco esté en equilibrio estático?
3. Ahora, en vez de aplicar la fuerza ${\vec {F}}$, se aplica sobre el disco un par de fuerzas ${\vec {\tau }}=\tau _{0}\,{\vec {k}}$. ¿Cuanto debe valer $\tau _{0}$ para que el disco esté en equilibrio estático?
4. Discute como se comporta la fuerza de rozamiento cuando se aplica la fuerza y cuando se aplica el par de fuerzas.

Solución

Diagrama de fuerzas

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre el disco: la fuerza ${\vec {F}}$ en su centro, el peso ${\vec {P}}_{g}$ en su centro de masas $C$, la fuerza elástica ${\vec {F}}_{k}$ en el punto $B$, la normal ${\vec {N}}$ y la fuerza de rozamiento ${\vec {F}}_{R}$ en el punto $D$.

La expresión de estas fuerzas en el sistema de ejes dado es

${\begin{array}{l}{\vec {f}}=f\,{\vec {\imath }},\\{\vec {p}}_{g}=-mg\,{\vec {\jmath }}\\{\vec {f}}_{k}=-kd\,{\vec {\imath }},\\{\vec {n}}=n\,{\vec {\jmath }},\\{\vec {f}}_{r}=f\,{\vec {\imath }}.\end{array}}$

Hemos puesto la fuerza de rozamiento apuntando hacia la izquierda pues esta fuerza debe compensar el momento introducido respecto al punto $C$ producido por la fuerza del muelle. Si esto es correcto debemos obtener como resultado $f<0$.

Valor de ${\vec {F}}$ en equilibrio estático

Imponemos la condición de que el sumatorio de fuerzas que actúan sobre el disco sea nulo

${\vec {F}}+{\vec {P}}_{g}+{\vec {F}}_{k}+{\vec {N}}+{\vec {F}}_{R}={\vec {0}}\longrightarrow \left\{{\begin{array}{lclr}X)&\to &F-kd+f=0,&(1)\\Y)&\to &N-mg=0.&(2)\end{array}}\right.$

Imponemos ahora la condición de que el momento neto de las fuerzas respecto a $C$ sea nulo. Sólo la fuerza elástica y la de rozamiento crean momento

${\vec {M}}_{C}={\overrightarrow {CB}}\times {\vec {F}}_{k}+{\overrightarrow {CD}}\times {\vec {F}}_{R}={\vec {0}}.$

Tenemos

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {CB}}\times {\vec {F}}_{k}=(R\,{\vec {\jmath }})\times (-kd\,{\vec {\imath }})=kdR\,{\vec {k}},\\{\overrightarrow {CD}}\times {\vec {F}}_{R}=(-R\,{\vec {\jmath }})\times (f\,{\vec {\imath }})=fR\,{\vec {k}}.\end{array}}$

Obtenemos así la ecuación

$f+kd=0.\qquad (3)$

Tenemos tres incógnitas: $\{F,N,f\}$ y tres ecuaciones. Resolviendo el sistema tenemos

$N=mg,\qquad f=-kd,\qquad F=2kd.$

Los vectores fuerzas son

${\vec {N}}=mg,{\vec {\jmath }},\qquad {\vec {F}}_{R}=-kd\,{\vec {\imath }},\qquad {\vec {F}}=2kd\,{\vec {\imath }}.$

Solución con momento aplicado

La figura de la derecha muestra el diagrama de fuerzas con el momento aplicado. El momento no está asociado en un punto. Como representa un sistema de fuerzas de resultante nula puede aplicarse en cualquier punto del disco. La expresión de fuerzas y momentos es

${\begin{array}{l}{\vec {\tau }}=\tau _{0}\,{\vec {k}},\\{\vec {P}}_{g}=-mg\,{\vec {\jmath }}\\{\vec {F}}_{k}=-kd\,{\vec {\imath }},\\{\vec {N}}=N\,{\vec {\jmath }},\\{\vec {F}}_{R}=f\,{\vec {\imath }}.\end{array}}$

Ahora las incógnitas son $\{\tau _{0},N,f\}$. La condición de sumatorio de fuerzas nulo nos da dos ecuaciones

${\vec {P}}_{g}+{\vec {F}}_{k}+{\vec {N}}+{\vec {F}}_{R}={\vec {0}}\longrightarrow \left\{{\begin{array}{lclr}X)&\to &-kd+f=0,&(4)\\Y)&\to &N-mg=0.&(5)\end{array}}\right.$

La condición de momento neto nulo en $C$ nos da otra ecuación

${\vec {M}}_{C}={\vec {\tau }}+{\overrightarrow {CB}}\times {\vec {F}}_{k}+{\overrightarrow {CD}}\times {\vec {F}}_{R}={\vec {0}}.$

Usando los cálculos del apartado anterior tenemos

$\tau _{0}+fR+kdR=0.\qquad (6)$

Resolviendo el sistema tenemos

$N=mg,\qquad f=kd,\qquad \tau _{0}=-2kdR.$

Los vectores son

${\vec {N}}=mg,{\vec {\jmath }},\qquad {\vec {F}}_{R}=kd\,{\vec {\imath }},\qquad {\vec {\tau }}=-2kdR\,{\vec {k}}.$

Papel de la fuerza de rozamiento

En el primer y segundo apartados la fuerza de rozamiento es la que compensa el momento generado por la fuerza elástica respecto de $C$. Por eso apunta hacia la izquierda.

En el tercer apartado la fuerza de rozamiento es la única que puede compensar la fuerza ejercida hacia la izquierda por el muelle. Por eso tiene que apuntar hacia la derecha. Eso hace que el momento ${\vec {\tau }}$ tenga que apuntar hacia dentro, pues ahora el momento creado por la fuerza de rozamiento respecto a $C$ va en el mismo sentido que el creado por la fuerza elástica.