Enunciado

Las masas puntuales Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2} se deslizan sin rozamiento sobre una superficie horizontal. Las masas están unidas por una cuerda ideal, inextensible y sin masa, de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} . Una fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}=F\,\vec{\imath}} actúa sobre la masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1} . Las masas se mueven de modo que la cuerda está siempre tensa.

  1. Calcula la tensión de la cuerda durante el movimiento
  2. Supongamos ahora que las dos masas son iguales, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1=m_2=m_0} . En el instante inicial la masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2} esta en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} y la cuerda está completamente estirada. Las dos masas están en reposo en este instante inicial. Ahora la fuerza depende del tiempo como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}(t) = 12m_0At\,\vec{\imath}} , siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} una constante.
    1. Cuáles son las unidades base de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} en el S.I.
    2. ¿Cuál es la posición de la masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1} en función del tiempo?
    3. En el instante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=t_p} la partícula 1 se para súbitamente. ¿Cuanto tiempo tarda en chocar con ella la partícula 2?

Solución

Tensión en la cuerda

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre cada masa. Tenemos que aplicar la Segunda Ley de Newton a cada masa por separado

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} m_1\,\vec{a}_1 = \vec{F} + \vec{P}_1 + \vec{N}_1 + \vec{T}_1\\ \\ m_2\,\vec{a}_2 = \vec{P}_2 + \vec{N}_2 + \vec{T}_2 \end{array} }

Expresamos los vectores que aparecen aquí en el sistema de ejes de la figura. Para la masa 1 tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{a}_1 = a\,\vec{\imath},\\ \vec{F} = F\,\vec{\imath},\\ \vec{P}_1 = -m_1g\,\vec{\jmath},\\ \vec{N}_1 = N_1\,\vec{\jmath},\\ \vec{T}_1 = -T\,\vec{\imath},\\ \end{array} }

Para la masa 2 tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{a}_2 = a\,\vec{\imath},\\ \vec{P}_2 = -m_2g\,\vec{\jmath},\\ \vec{N}_2 = N_2\,\vec{\jmath},\\ \vec{T}_2 = T\,\vec{\imath},\\ \end{array} }

Hemos usado que la aceleración de las dos masas debe ser la misma y que la tensión de la cuerda es la misma en todos sus puntos, pues no tiene masa. A partir de las expresiones vectoriales de la Segunda Ley de Newton obtenemos cuatro ecuaciones escalares

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lr} m_1a = F - T, & (1)\\ 0 = N_1-m_1g, & (2)\\ m_2a = T, & (3)\\ 0 = N_2 - m_2g. & (4) \end{array} }

Sumando las ecuaciones (1) y (3) obtenemos la aceleración de la masa

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a = \dfrac{F}{m_1+m_2}. }

A partir de (3) obtenemos la tensión en la cuerda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = \dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,F. }

Las ecuaciones (2) y (4) nos dan las magnitudes de las fuerzas normales

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N_1 = m_1g, \qquad N_2 = m_2g. }

Movimiento con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{F = 12m_0At}}

Durante el movimiento la distancia entre las masas es constante. Entonces, las dos tienen la misma velocidad y aceleración.

Las unidades base de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} deben ser tales que la definición de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F} sea compatible con las unidades de fuerza

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle [A] = \dfrac{[F]}{[m_0][t]} = \mathrm{\dfrac{N}{kg\cdot s} = \dfrac{kg\cdot m\cdot s^{-2}}{kg\cdot s} = \dfrac{m}{s^3}}. }

Introducimos la definición de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F} en la expresión que nos da la aceleración d elas masas

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a = \dfrac{12m_0At}{2m_0} = 6At. }

Esta aceleración depende del tiempo. Para obtener la velocidad hay que resolver la ecuación diferencial

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = a \Longrightarrow \mathrm{d}v = a\mathrm{d}t \Longrightarrow \mathrm{d}v = 6At\mathrm{d}t }

Integrando obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int\mathrm{d}v = \int 6At\mathrm{d}t \Longrightarrow v = 3At^2 + C }

En el instante inicial las masas estaban en reposo. Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v(0) = 0 \Longrightarrow C = 0. }

Es decir, la velocidad de las masas en función del tiempo es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_1 = v_2 = 3At^2. }

Para obtener la coordenada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} de cada masa debemos resolver la ecuación diferencial correspondiente. Para la masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1} tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}x_1}{\mathrm{d}t} = v_1 \Longrightarrow \mathrm{d}x_1 = v_1\mathrm{d}t \Longrightarrow \mathrm{d}x_1 = 3At^2\mathrm{d}t }

Integrando obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int\mathrm{d}x_1 = \int 3At^2\mathrm{d}t \Longrightarrow x_1 = At^3 + C }

En el instante inicial la cuerda estaba estirada. Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1(0) = L \Longrightarrow C = L. }

Es decir

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1 = L + At^3. }

Procediendo de manera similar para la masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2} obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_2 = At^3. }

Parada súbita de la masa 2

En Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=t_p} la masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1} se para. En ese instante, la cuerda deja de tirar de la masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2} . Por tanto, la aceleración de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2} es cero a partir de ese instante y se mueve con velocidad constante e igual a la que tenía en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_p}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_2 = 3At_p^2. }

En Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=t_p} la distancia entre las masas era Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} . Como la masa 2 se mueve con velocidad uniforme, el tiempo que tarda en chocar con la otra masa es el que tarda en recorrer esa distancia

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta t = \dfrac{L}{3At_p^2}. }

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