Enunciado
Una partícula de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} está obligada a moverse a lo largo de un hilo delgado circular de radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} , como se indica a la figura. La partícula está conectada a un muelle de constante elástica Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} y longitud natural nula. El punto de anclaje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} del muelle puede moverse sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY} , de modo que el muelle siempre permanece horizontal. El contacto entre la partícula y el hilo es rugoso, con coeficiente de rozamiento estático Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu} .
- Dibuja el diagrama de fuerzas de la partícula. Indica de que fuerzas es conocido su sentido antes de resolver el problema
- ¿Cómo es la fuerza que el muelle ejerce sobre la partícula?. ¿Y la fuerza de rozamiento?
- Supongamos ahora que se cumple Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle mg = F_0/5}
y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle kR=F_0/3}
, siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_0}
una constante dada. Calcula el módulo de la fuerza normal sobre la partícula en condiciones de equilibrio estático si el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta}
es tal que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{sen}\,\theta = 4/5, \qquad \cos\theta=3/5,} - ¿Cuánto debe valer el coeficiente de rozamiento estático para que la situación descrita sea posible?
Solución
Diagrama de fuerzas
La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre la partícula. La fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}} es perpendicular al aro, mientras que la fuerza de rozamiento es tangente al aro. El sentido del peso es hacia abajo. Dado que el muelle tiene longitud natural nula siempre tira hacia el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} . Entonces la normal siempre va hacia fuera. El sentido de la fuerza de rozamiento depende de donde esté la partícula, es decir, no es conocido a priori.
Expresión de las fuerzas
Observando los ángulos en la figura previa tenemos que la expresión de las fuerzas en el sistema de ejes de la figura es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{P}_g = -mg\,\vec{\jmath},\\ \vec{F}_k = -k\overrightarrow{AP} = -kR\cos\theta\,\vec{\imath},\\ \vec{N} = N\cos\theta\,\vec{\imath} + N\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath},\\ \vec{F}_R = -f\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath} + f\cos\theta\,\vec{\jmath}. \end{array} }
Situación de equilibrio estático
La situación de equilibrio estático se obtiene imponiendo que la suma de fuerzas sobre la partícula sea nula
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{P}_g + \vec{F}_k + \vec{N} + \vec{F}_R = \vec{0} }
Obtenemos así dos ecuaciones escalares, una por cada componente
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lclr} X) & \to & -kR\cos\theta + N\cos\theta - f\,\mathrm{sen}\,\theta = 0, & (1)\\ Y) & \to & -mg + N\,\mathrm{sen}\,\theta + f\cos\theta = 0. & (2) \end{array} }
Introduciendo los valores de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle mg} , Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle kR} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} que se dan en el enunciado estas ecuaciones quedan
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lr} 3N - 4f = F_0, & (3)\\ 4N + 3f = F_0. & (4) \end{array} }
Resolviendo tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N = 7F_0/25, \qquad f = -F_0/25. }
Condición sobre el coeficiente de rozamiento estático
Para que no haya deslizamiento debe ocurrir
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{F}_R| \leq \mu |\vec{N}| \Longrightarrow |f| \leq \mu|N| \Longrightarrow \mu\geq 1/7. }
