Enunciado
Una cuerda de longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L=35.0\,\mathrm{m}} tiene una densidad de masa lineal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu = 0.0850\,\mathrm{g/cm}} y soporta una tensión Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_T=18.0\,\mathrm{N}} . Se excita un onda estacionaria en la cuerda. Calcula las frecuencias de los dos primeros armónicos cuando
- Los dos extremos están fijos.
- Un extremo está fijo y el otro está libre.
Solución
Los dos extremos fijos
En esta situación las longitudes de onda de los modos posibles de oscilación tienen que ser tales que los dos extremos de la cuerda correspondan a nodos. Como dos nodos están separados por la mitad de la longitud de onda de las ondas que interfieren para producir la onda estacionaria, la distancia entre los extremos de la cuerda, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} debe ser un múltiplo de la mitad de la longitud de onda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L = n\,\dfrac{\lambda_n}{2}\qquad\qquad n=1,2,3\ldots }
Para cada modo, la relación entre frecuencia y longitud de onda es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_n\lambda_n = v, }
siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v} la velocidad de propagación de la onda en la cuerda. Entonces
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L = n\,\dfrac{v}{2f_n} \Longrightarrow f_n = n\,\dfrac{v}{2L}\qquad\qquad n=1,2,3\ldots }
La velocidad de propagación es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v = \sqrt{\dfrac{F_T}{\mu}} = 46.0\,\mathrm{m/s} }
Entonces las frecuencias de los dos primeros armónicos son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} f_1 = \dfrac{v}{2L} = 0.657\,\mathrm{Hz} \\ \\ f_2 = 2\dfrac{v}{2L} = 1.31\,\mathrm{Hz} \end{array} }
En este caso las frecuencias de los armónicos son números enteros de la frecuencia del armónico fundamental.
Un extremo fijo y uno libre
Ahora el extremo fijo debe ser un nodo y el libre un antinodo. La distancia entre un nodo y vientre consecutivos es un cuarto de la longitud de onda de las ondas que interfieren. Por tanto debe cumplirse
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L = n\,\dfrac{\lambda_n}{4}\qquad\qquad n=1,3,5\ldots }
Las frecuencias correspondientes son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_n = n\,\dfrac{v}{4L}\qquad\qquad n=1,3,5\ldots }
Entonces las frecuencias de los dos primeros armónicos son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} f_1 = \dfrac{v}{4L} = 0.329\,\mathrm{Hz} \\ \\ f_3 = 3\dfrac{v}{4L} = 0.986\,\mathrm{Hz} \end{array} }
Ahora las frecuencias de los armónicos son múltiplos impares de la frecuencia fundamental. En este caso las frecuencias de los armónicos son números enteros de la frecuencia del armónico fundamental.
