Enunciado
Un bloque rectangular, de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} y lados Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2a} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 4a} , descansa sobre un plano inclinado un ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta} respecto de la horizontal. Se aplica sobre el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} del bloque una fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}=F_0\,\vec{\imath}} , con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_0>0} . La fuerza es horizontal al plano inclinado y el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} está a una distancia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h} del plano. Consideramos en primera instancia que el contacto entre el bloque y el plano es liso. El ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta} cumple
- Dibuja el diagrama de cuerpo libre del bloque.
- Encuentra el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_0} para que haya equilibrio. Encuentra las expresiones de las fuerzas en esta situación.
- Con las fuerzas obtenidas en el apartado anterior, encuentra las condiciones que debe cumplir Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h} para que el bloque no vuelque hacia la izquierda ni la derecha.
- Considera ahora que hay rozamiento entre el bloque y el plano inclinado, con coeficiente de rozamiento estático Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu} . Supongamos que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_0=mg} . Determina las condiciones que deben cumplir Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h} para que haya equilibrio frente a deslizamiento y vuelco.
Solución
Diagrama de cuerpo libre
Las fuerzas que actúan sobre el bloque son: la fuerza aplicada Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}} en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} , el peso en el centro de masas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} y la fuerza vincular normal ejercida por el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}} . Esta fuerza es en realidad la resultante de todas las fuerzas que ejerce el plano sobre el bloque en los puntos de su base. No sabemos donde se sitúa esta resultante a priori. Estas fuerzas se ajustan para intentar que el bloque no vuelque. Llamamos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D} al punto donde se aplica la resultante y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta} a la distancia entre las rectas soporte de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{P}} . Este valor es una incógnita del problema. Las fuerzas pueden expresarse así en el sistema de ejes de la figura
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{F} = F_0\,\vec{\imath},\\ \\ \vec{P} = -mg\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\imath} - mg\cos\beta\,\vec{\jmath} = -\dfrac{3}{5}mg\,\vec{\imath} - \dfrac{4}{5}mg\,\vec{\jmath},\\ \\ \vec{N} = N\,\vec{\jmath}. \end{array} }
Valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_0} en equilibrio
La primera condición de equilibrio es que la fuerza neta sobre el bloque sea cero
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F} + \vec{P} + \vec{N} = \vec{0} \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{lclr} X) & \to & F_0 - \dfrac{3}{5}mg = 0 & (1)\\ &&&\\ Y) & \to & N - \dfrac{4}{5}mg = 0 & (2) \end{array} \right. }
De aquí obtenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_0 = \dfrac{3}{5}mg }
Las expresiones de las fuerzas son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{F} = \dfrac{3}{5}mg\,\vec{\imath},\\ \\ \vec{P} = -\dfrac{3}{5}mg\,\vec{\imath} - \dfrac{4}{5}mg\,\vec{\jmath},\\ \\ \vec{N} = \dfrac{4}{5}mg\,\vec{\jmath}. \end{array} }
Análisis del vuelco
La otra condición de equilibrio es que el momento neto de las fuerzas que actúan sobre el bloque sea nulo respecto de cualquier punto. Si calculamos los momentos respecto a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} el peso no ejerce momento, y tenemos
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{M}_G = \overrightarrow{GA}\times\vec{F} +\overrightarrow{GD}\times\vec{N} }
Los vectores geométricos son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \overrightarrow{GA} = -a\,\vec{\imath} + (h-2a)\,\vec{\jmath},\\ \\ \overrightarrow{GD} = \delta\,\vec{\imath} - 2a\,\vec{\jmath}. \end{array} }
Entonces el momento neto buscado es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{M}_G = (-\dfrac{3}{5}mg(h-2a) + \dfrac{4}{5}mg\delta)\,\vec{k} = \vec{0}. \quad (3) }
Entonces
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta = \dfrac{3}{4}\,(h-2a). }
La situación de vuelco inminente hacia la izquierda ocurre cuando el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D} coincide con el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} , esto es, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta=-a} . Entonces, para que no vuelque hacia la izquierda debe ocurrir
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta \geq -a \Longrightarrow h\geq \dfrac{2}{3}a. }
La situación de vuelco inminente hacia la derecha ocurre cuando el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D} coincide con el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} , esto es, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta=+a} . Entonces, para que no vuelque hacia la derecha debe ocurrir
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta \leq a \Longrightarrow h\leq \dfrac{10}{3}a. }
Es decir, para que el bloque no vuelque debe ocurrir
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{2}{3}a \leq h \leq \dfrac{10}{3}a }
Equilibrio con rozamiento
Ahora tenemos que incluir la fuerza de rozamiento en el diagrama de cuerpo libre, como se indica en la figura. Esta fuerza es la resultante de todas las fuerzas de rozamiento en los puntos de contacto entre el bloque y el plano inclinado. Es un vector deslizante cuya recta soporte es la que pasa por los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} . Su expresión es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_R = f\,\vec{\imath}. }
No conocemos el sentido a priori, es decir, no conocemos el signo de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} a priori.
Aplicamos las condiciones de equilibrio como antes. Aplicamos que en este caso Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_0=mg} , como dice el enunciado.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F} + \vec{P} + \vec{N} + \vec{F}_R = \vec{0} \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{lclr} X) & \to & mg - \dfrac{3}{5}mg + f = 0 & (4)\\ &&&\\ Y) & \to & N - \dfrac{4}{5}mg = 0 & (5) \end{array} \right. }
Obtenemos entonces
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{F}_R = -\dfrac{2}{5}mg\,\vec{\imath},\\ \\ \vec{N} = \dfrac{4}{5}mg\,\vec{\jmath}. \end{array} }
La fuerza de rozamiento apunta hacia la izquierda con estos valores.
Volvemos a calcular el momento neto de las fuerzas respecto de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{M}_G = \overrightarrow{GA}\times\vec{F} +\overrightarrow{GD}\times\vec{N} + \overrightarrow{GE}\times\vec{F}_R }
Como la fuerza de rozamiento es un vector deslizante la podemos aplicar en cualquier punto de la base del bloque. El momento neto es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{M}_G = (-mg(h-2a) + \dfrac{4}{5}mg\delta -\dfrac{4}{5}mga)\,\vec{k} = \vec{0}. \quad (6) }
Entonces
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta = \dfrac{5h-6a}{4} }
Equilibrio frente a deslizamiento
Para que el bloque no deslice debe ocurrir
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{F}_R| \leq \mu |\vec{N}| \Longrightarrow \dfrac{2}{5}mg \leq \mu \dfrac{4}{5}mg \Longrightarrow \mu\geq 1/2. }
Equilibrio frente a vuelco
Para que no vuelque hacia la izquierda debe cumplirse
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta \geq -a \Longrightarrow h\geq \dfrac{2}{5}a. }
Para que no vuelque hacia la derecha
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta \leq a \Longrightarrow h\leq 2a. }
La condición para que no vuelque es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{2}{5}a \leq h \leq 2a. }
Errores comunes detectados en la corrección
- Mucha gente puso la fuerza normal directamente en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E} . Ya hemos explicado que eso no es correcto. La normal se sitúa para intentar evitar el vuelco. La posición de su recta soporte es una incógnita.
