Barra articulada con momento aplicado, Enero 2016 (G.I.C.)

Enunciado

En el sistema de la figura, la barra Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overline{OA}} (sólido "2") tiene masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} y longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2L} . La barra está articulada en el punto fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} de una barra vertical fija(sólido "1"). Se aplica un par Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\tau}=\tau_0\,\vec{k}} sobre la barra "2". El sistema está sometido a la gravedad.

1. ¿Como debe ser el par aplicado para que el ángulo sea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta_1=\pi/6} ?
2. Ahora, manteniendo aplicado el par de la pregunta anterior, se apoya una barra homogénea "0", de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} y longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2L} , como se indica en la figura. La barra "0" se mantiene siempre horizontal. Todos los contactos son lisos.
3. ¿Cuanto vale el ángulo de equilibrio en la nueva situación?
4. Calcula el par vincular sobre la barra "0" originado por el vínculo en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} es

Solución

Par para mantener el equilibrio

300ppx

La imagen de la derecha muestra el diagrama de cuerpo libre del sólido "0". Hay una fuerza vincular en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} con tres posibles componentes no nulas, pues el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} está fijo. Las fuerzas y pares son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{P} = -mg\,\vec{\jmath}\\ \vec{\Phi}^{\,O}_{1\to2} = O_x\,\vec{\imath} + O_y\,\vec{\jmath} + O_z\,\vec{k}\\ \vec{\tau} = \tau_0\,\vec{k} \end{array} }

La suma de fuerzas debe ser cero

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{P} + \vec{\Phi}^{\,O}_{1\to2} = \vec{0} \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{lclr} (X) & \to & O_x=0 & (1)\\ (Y) & \to & O_y=mg& (2)\\ (Z) & \to & O_z=0 & (3) \end{array} \right. }

El momento neto respecto a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} debe ser cero

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{M}_O = \vec{\tau} + \overrightarrow{OG_2}\times\vec{P} = \vec{0} }

El momento ejercido por el peso es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OG_2}\times\vec{P} = (L\,\mathrm{sen}\,\theta_1\,\vec{\imath} + L\cos\theta_1\,\vec{\jmath})\times(-mg\,\vec{\jmath}) = -mgL\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{k} }

La ecuación del momento nos da la ecuación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \tau_0 - mgL\,\mathrm{sen}\,\theta_1 = 0, \qquad\qquad (4) }

De aquí obtenemos el valor del par

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\tau} = mgL\,\mathrm{sen}\,\theta_1 \,\vec{k} = \dfrac{1}{2}mgL\,\vec{k} }

Con barra horizontal aplicada

300ppx

La imagen de la derecha muestra el diagrama de cuerpo libre de ambos sólidos. Hay una fuerza vincular en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} sobre el "2" con tres posibles componentes no nulas, pues el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} está fijo. En el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} las fuerzas vinculares forman un par de acción reacción. En el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} hay una fuerza vincular sobre "0" para impedir un desplazamiento que no sea en la dirección del eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y_1} . También hay un par vincular para que no haya rotación de la barra "0".

Las expresiones de fuerzas y pares sobre el sólido "2" son Las fuerzas y pares son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{P}_2 = -mg\,\vec{\jmath}\\ \vec{\Phi}^{\,O}_{1\to2} = O_x\,\vec{\imath} + O_y\,\vec{\jmath} + O_z\,\vec{k}\\ \vec{\Phi}^{\,A}_{0\to2} = -A_y\,\vec{\jmath} \\ \vec{\tau} = \tau_0\,\vec{k} \end{array} }

Sobre el sólido "0" tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{P}_0 = -mg\,\vec{\jmath}\\ \vec{\Phi}^{\,A}_{2\to0} = A_y\,\vec{\jmath} \\ \vec{\Phi}^{\,B}_{1\to0} = B_x\,\vec{\imath} + B_z\,\vec{k}\\ \vec{\Gamma}_{1\to0} = \Gamma\,\vec{k} \end{array} }

Aplicamos la condiciones de equilibrio para cada sólido. Para el sólido "2"

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{P}_2 + \vec{\Phi}^{\,O}_{1\to2} + \vec{\Phi}^{\,A}_{0\to2} = \vec{0} \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{lclr} (X) & \to & O_x=0 & (1)\\ (Y) & \to & O_y-A_y=mg& (2)\\ (Z) & \to & O_z=0 & (3) \end{array} \right. }

El momento respecto a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} debe ser cero

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{M}_O = \vec{\tau} + \overrightarrow{OG_2}\times\vec{P}_2 + \overrightarrow{OA}\times\vec{\Phi}^{\,A}_{0\to2} = \vec{0} \Longrightarrow \tau_0 - mgL\,\mathrm{sen}\,\theta -2A_yL\,\mathrm{sen}\,\theta = 0\, \qquad(4) }

La fuerza neta sobre el sólido "0" debe ser cero

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{P}_0 + \vec{\Phi}^{\,B}_{1\to0} + \vec{\Phi}^{\,A}_{2\to0} = \vec{0} \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{lclr} (X) & \to & B_x=0 & (5)\\ (Y) & \to & A_y=mg& (6)\\ (Z) & \to & B_z=0 & (7) \end{array} \right. }

Calculamos el momento neto respecto a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{M}_B = \overrightarrow{BG}_0\times\vec{P}_0 + \overrightarrow{BA}\times\vec{\Phi}^{\,A}_{2\to0} + \vec{\Gamma}_{1\to0}=\vec{0} }

Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \overrightarrow{BG}_0\times\vec{P}_0 = (L\,\vec{\imath})\times(-mg\,\vec{\jmath}) = -mgL\,\vec{k} \\ \overrightarrow{BA}\times\vec{\Phi}^{\,A}_{2\to0} = (2L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath})\times(A_y\,\vec{\jmath})= 2LA_y\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{k} \end{array} }

Entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Gamma - mgL + 2LA_y\,\mathrm{sen}\,\theta = 0. \qquad (8) }

Tenemos 8 ecuaciones para 8 incógnitas, a saber Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{O_x, O_y, O_z, A_y, B_x, B_z, \Gamma, \theta\}} . Resolviendo tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{\Phi}^{\,O}_{1\to2} = 2mg\,\vec{\jmath},\\ \vec{\Phi}^{\,A}_{2\to0} = mg\,\vec{\jmath},\\ \vec{\Phi}^{\,B}_{1\to0} = \vec{0}\\ \\ \vec{\Gamma}_{1\to0} = \dfrac{2}{3}mgL\,\vec{k}\\ \mathrm{sen}\,\theta = \dfrac{\tau_0}{3mgL} = \dfrac{1}{6} \end{array} }