Resorte con rozamiento, Enero 2015 (G.I.C.)

Enunciado

Se tiene un resorte ideal horizontal con constante elástica $k=224\,\mathrm {N/m}$. Se le engancha una masa $m=500\,\mathrm {g}$, de modo que oscila sobre una superficie horizontal sin rozamiento.

1. ¿Cuál es la frecuencia natural de oscilación de la masa, aproximadamente?
2. Se sumergen tres copias idénticas de este sistema en tres líquidos diferentes, de modo que actúa una fuerza de rozamiento ${\vec {F}}_{R}=-b_{i}{\vec {v}}$ sobre cada masa. En cada líquido el coeficiente de rozamiento es $b_{1}=10.6\,\mathrm {kg/s}$, $b_{2}=21.2\,\mathrm {kg/s}$, $b_{3}=42.4\,\mathrm {kg/s}$. Clasifica los líquidos, en orden creciente de eficiencia de frenado (primero el que es más eficiente).

Solución

Frecuencia natural

La frecuencia angular natural del resorte es

$\omega _{0}={\sqrt {\dfrac {k}{m}}}$

Expresada en $Hz$, queda

$f_{0}={\dfrac {\omega _{0}}{2\pi }}={\dfrac {1}{2\pi }}{\sqrt {\dfrac {k}{m}}}=3.38\,\mathrm {Hz}$

Eficiencia de frenado de los líquidos

El factor de rozamiento en la ecuación diferencial es

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La eficiencia de frenado es máxima en condiciones de amortiguamiento crítico, es decir, cuando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \gamma = \omega_0 } . Después viene el caso sobre amortiguado, es decir, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \gamma>\omega_0 } . Por último, el líquido que frena menos eficientemente es el que está subamortiguado, es decir, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \gamma<\omega_0 } . Esto da el orden 3, 2, 1.