Velocidad cuadrática con la posición (GIOI)

Enunciado

Una partícula se mueve a lo largo de una recta, de forma que su velocidad vale en cada punto $v=-kx^{2}$. Su posición inicial es $x(t=0)=x_{0}$

1. ¿Cuáles son las unidades de $k$ en el SI
2. ¿Cuánto vale la aceleración de la partícula cuando se halla en un punto $x$?
3. ¿Cuánto vale la posición como función del tiempo?

Unidades de k

Por homogeneidad dimensional

$1\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}=[k]\left(1\,\mathrm {m} \right)^{2}\qquad \Rightarrow \qquad [k]={\frac {1}{\mathrm {m} \cdot \mathrm {s} }}$

Aceleración como función de la posición

Derivamos respecto al tiempo la velocidad, mediante la regla de la cadena

$a={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(-kx^{2})=-2kx{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}$

pero la derivada de la posición respecto al tiempo es la propia velocidad

$a=-2kx{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-2kx(-kx^{2})=2k^{2}x^{3}$

Posición como función del tiempo

La velocidad es el cociente entre un desplazamiento diferencial y el intervalo que tarda en recorrerse

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=v=-kx^{2}$

Esto quiere decir que el tiempo necesario para recorrer dx es, despejando,

$\mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d} x}{v}}={\frac {\mathrm {d} x}{-kx^{2}}}$

Sumando (es decir, integrando) todos los diferenciales obtenemos el tiempo necesario para llegar a una cierta posición

$\int _{0}^{t}\mathrm {d} t=\int _{x_{0}}^{x}{\frac {\mathrm {d} x}{-kx^{2}}}$

lo que da

$t={\frac {1}{kx}}-{\frac {1}{kx_{0}}}$

Despejamos de aquí x y da

${\frac {1}{kx}}=t+{\frac {1}{kx_{0}}}={\frac {1+kx_{0}t}{kx_{0}}}\qquad \Rightarrow \qquad x={\frac {x_{0}}{1+kx_{0}t}}$