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Velocidad cuadrática con la posición (GIOI)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una partícula se mueve a lo largo de una recta, de forma que su velocidad vale en cada punto v = − kx2. Su posición inicial es x(t = 0) = x0

  1. ¿Cuáles son las unidades de k en el SI
  2. ¿Cuánto vale la aceleración de la partícula cuando se halla en un punto x?
  3. ¿Cuánto vale la posición como función del tiempo?

2 Unidades de k

Por homogeneidad dimensional

1\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=[k]\left(1\,\mathrm{m}\right)^2 \qquad\Rightarrow\qquad [k]=\frac{1}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}}

3 Aceleración como función de la posición

Derivamos respecto al tiempo la velocidad, mediante la regla de la cadena

a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}t}(-kx^2)=-2kx\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}

pero la derivada de la posición respecto al tiempo es la propia velocidad

a=-2kx\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=-2kx(-kx^2) = 2k^2 x^3

4 Posición como función del tiempo

La velocidad es el cociente entre un desplazamiento diferencial y el intervalo que tarda en recorrerse

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=v=-kx^2

Esto quiere decir que el tiempo necesario para recorrer dx es, despejando,

\mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}x}{v}=\frac{\mathrm{d}x}{-kx^2}

Sumando (es decir, integrando) todos los diferenciales obtenemos el tiempo necesario para llegar a una cierta posición

\int_0^t \mathrm{d}t=\int_{x_0}^x \frac{\mathrm{d}x}{-kx^2}

lo que da

t = \frac{1}{kx}-\frac{1}{kx_0}

Despejamos de aquí x y da

\frac{1}{kx}=t+\frac{1}{kx_0}=\frac{1+kx_0 t}{kx_0}\qquad\Rightarrow\qquad x = \frac{x_0}{1+kx_0 t}

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