Velocidad media en un MAS (GIOI)

Enunciado

Una partícula describe un movimiento armónico simple de frecuencia angular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega} , pudiéndose mover a lo largo de una recta horizontal. En Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} pasa por la posición de equilibrio con una velocidad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle +v_0} .

1. ¿Cuánto vale la velocidad media entre $t=0$ y $t=T/4$, con $T$ el periodo de oscilación?
2. ¿Cuánto vale la aceleración en $t=T/4$?

Velocidad media

La velocidad media de una partícula en un movimiento rectilíneo se calcula como el cociente entre el desplazamiento neto y la duración del intervalo en que se realiza

$v_{m}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}$

En este caso, el intervalo se nos da como dato: es la cuarta parte del periodo

$\Delta t={\frac {T}{4}}$

En un movimiento armónico simple, una partícula que parte del punto de equilibrio en $t=0$ alcanza la máxima elongación en $T/4$; en $T/2$ vuelve a pasar por el origen en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3T/4} alcanza la distancia máxima por el lado opuesto y en $T$ regresa al origen, completando el ciclo.

Por tanto el desplazamiento entre Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=T/4} es igual a la elongación máxima, es decir a la amplitud.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta x = A\,}

y la velocidad media será igual a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_m = \frac{A}{T/4} = \frac{4A}{T}}

Queda calcular la amplitud a partir de los datos del enunciado.

Tenemos que la ecuación general de un movimiento armónico simple es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = x_0\cos(\omega t)+\frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)}

En esta ocasión la posición inicial es nula y el movimiento se reduce a un seno, como en la gráfica anterior

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = \frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}(\omega t)}

La máxima elongación se da cuando el seno vale 1, por lo que la amplitud vale

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A = \frac{v_0}{\omega}}

y queda la velocidad media

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_m = \frac{4v_0}{\omega T}}

pero

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega = \frac{2\pi}{T}}

lo que nos da finalmente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_m = \frac{4v_0}{2\pi} = \frac{2}{\pi}v_0}

Aceleración

La aceleración en un movimiento armónico simple tiene la expresión

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a = -\omega^2 x}

con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} la posición medida respecto a la de equilibrio. En Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t = T/4} la elongación es la máxima y

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a(t=T/4) = -\omega^2 A = -\omega^2 \frac{v_0}{\omega} = -\omega v_0}