Velocidad media en un MAS (GIOI)

Enunciado

Una partícula describe un movimiento armónico simple de frecuencia angular $\omega$, pudiéndose mover a lo largo de una recta horizontal. En $t=0$ pasa por la posición de equilibrio con una velocidad $+v_{0}$.

1. ¿Cuánto vale la velocidad media entre $t=0$ y $t=T/4$, con $T$ el periodo de oscilación?
2. ¿Cuánto vale la aceleración en $t=T/4$?

Velocidad media

La velocidad media de una partícula en un movimiento rectilíneo se calcula como el cociente entre el desplazamiento neto y la duración del intervalo en que se realiza

$v_{m}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}$

En este caso, el intervalo se nos da como dato: es la cuarta parte del periodo

$\Delta t={\frac {T}{4}}$

En un movimiento armónico simple, una partícula que parte del punto de equilibrio en $t=0$ alcanza la máxima elongación en $T/4$; en $T/2$ vuelve a pasar por el origen en $3T/4$ alcanza la distancia máxima por el lado opuesto y en $T$ regresa al origen, completando el ciclo.

Por tanto el desplazamiento entre $t=0$ y $t=T/4$ es igual a la elongación máxima, es decir a la amplitud.

$\Delta x=A\,$

y la velocidad media será igual a

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Queda calcular la amplitud a partir de los datos del enunciado.

Tenemos que la ecuación general de un movimiento armónico simple es

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En esta ocasión la posición inicial es nula y el movimiento se reduce a un seno, como en la gráfica anterior

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La máxima elongación se da cuando el seno vale 1, por lo que la amplitud vale

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y queda la velocidad media

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pero

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lo que nos da finalmente

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Aceleración

La aceleración en un movimiento armónico simple tiene la expresión

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con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} la posición medida respecto a la de equilibrio. En Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t = T/4} la elongación es la máxima y

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a(t=T/4) = -\omega^2 A = -\omega^2 \frac{v_0}{\omega} = -\omega v_0}