Partículas en colisión, Noviembre 2018 (G.I.E.R.M.)

Enunciado

Una partícula de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1} se lanza desde una altura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h} con velocidad horizontal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_0=v_0\,\vec{\imath}} , con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0>0} . La partícula se mueve bajo la acción de la gravedad. Se desprecia el rozamiento del aire. Al mismo tiempo, otra partícula de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_2} parte desde el origen con velocidad inicial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (v_0/2)\,\vec{\imath}} . Esta partícula se mueve sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX} con aceleración Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}_2 = 6At\,\vec{\imath}} .

1. Escribe los vectores de posición de las dos partículas en función del tiempo.
2. ¿Cuál debe ser el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} para que las partículas colisionen en el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX} ?
3. Suponiendo que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A=\sqrt{g^3/8h}} , calcula el vector tangente de la trayectoria seguida por la partícula 1 en el instante de la colisión.

Solución

Movimientos de las partículas

La partícula realiza un movimiento parabólico. El movimiento es uniforme sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX} y uniformemente acelerado sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY} . El movimiento sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left. \begin{array}{l} x_1(0) = 0\\ \dot{x}_1(t) = v_0 \end{array} \right\} \Longrightarrow x(t) = v_0t }

El movimiento sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OY} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left. \begin{array}{l} y_1(0) = h\\ \dot{y}_1(0) = 0\\ \ddot{y}_1(t) = -g \end{array} \right\} \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dot{y}_1(t) = -gt\\ y_1(t) = h-gt^2/2 \end{array} \right. }

Entonces los vectores de posición y velocidad de la partícula 1 es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{v}_1(t) = v_0\,\vec{\imath} -gt\,\vec{\jmath}\\ \\ \vec{r}_1(t) = v_0t\,\vec{\imath} + (h-gt^2/2)\,\vec{\jmath} \end{array} }

La partícula 2 realiza un movimiento rectilíneo en el que la aceleración es una función del tiempo. Tenemos que resolver la ecuación diferencial. La aceleración de la partícula 2 sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_2 = \dfrac{\mathrm{d}v_2}{\mathrm{d}t} = 6At \Longrightarrow \mathrm{d}v_2 = 6At\,\mathrm{d}t. }

Podemos integrar esta expresión

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \mathrm{d}v_2 = \int 6At\mathrm{d}t \Longrightarrow v_2(t) = 3At^2 + C. }

La constante de integración se calcula imponiendo la condición inicial para la velocidad de la partícula 2

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left. \begin{array}{l} v_2(0) = \dfrac{1}{2}v_0\\ v_2(0) = C \end{array} \right\} \Longrightarrow C=\dfrac{1}{2}v_0. }

Por tanto, la velocidad de la partícula 2 es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_2(t) = \left(\dfrac{1}{2}v_0 + 3At^2\right)\,\vec{\imath}. }

Procedemos de manera similar para encontrar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_2(t)}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_2 = \dfrac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d}t} = \dfrac{1}{2}v_0 + 3At^2 \Longrightarrow \mathrm{d}x_2 = \left(\dfrac{1}{2}v_0 + 3At^2\right)\,\mathrm{d}t }

Podemos integrar esta expresión

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \mathrm{d}x_2 = \int \left(\dfrac{1}{2}v_0 + 3At^2\right)\,\mathrm{d}t \Longrightarrow x_2(t) = \dfrac{1}{2}v_0t + At^3 + C }

La constante de integración se calcula imponiendo la condición inicial para la posición de la partícula 2

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left. \begin{array}{l} x_2(0) = 0\\ v_2(0) = C \end{array} \right\} \Longrightarrow C=0. }

Por tanto, el vector de posición de la partícula 2 es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_2(t) = \left(\dfrac{1}{2}v_0t + At^3\right)\,\vec{\imath}. }

Colisión de las partículas

Para que las partículas colisionen sus dos vectores de posición tienen que ser iguales en el instante de la colisión, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=t_c}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{r}_1(t_c) = \vec{r}_2(t_c) \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{lr} v_0t_c = \dfrac{1}{2}v_0t_c + At_c^3, & (1)\\ \\ h-\dfrac{1}{2}gt_c^2 = 0 & (2). \end{array} \right. }

A partir de la ecuación (2) obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_c^2 = 2h/g. }

En la ecuación (1) podemos eliminar una Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_c} en todos los sumandos. Despejando el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0 = 2At_c^2 = \dfrac{4Ah}{g}. }

Vector tangente de la partícula 1 en el instante de la colisión

El vector velocidad de la partícula 1 cuando colisionan, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_c=\vec{v}(t_c)} , es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_c = v_0\,\vec{\imath} -gt_c\,\vec{\jmath}. }

Sustituyendo los valores de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t_c} calculados en la pregunta anterior, y aplicando la condición Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A=\sqrt{g^3/8h}} tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} v_0 = \dfrac{4h}{g}\sqrt{\dfrac{g^3}{8h}} = \sqrt{\dfrac{16h^2}{g^2}\dfrac{g^3}{8h}} = \sqrt{2gh},\\ \\ gt_c = g\sqrt{\dfrac{2h}{g}} = \sqrt{2gh}. \end{array} }

Por tanto la velocidad en ese instante, así como su módulo son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{v}_c = \sqrt{2gh}\,(\vec{\imath} - \vec{\jmath})\\ \\ |\vec{v}_c| = 2\sqrt{gh}. \end{array} }

Por lo que el vector tangente en ese instante es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{T}_c = \dfrac{\vec{v}_c}{|\vec{v}_c|} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\,(\vec{\imath} - \vec{\jmath}) }

Otra forma de ver que, de todas las opciones que se daban para responder, esta es la única con la dirección correcta teniendo en cuenta la trayectoria de la partícula 1. El vector tangente tiene que apuntar hacia la derecha y hacia abajo.