Aceleración lineal con el tiempo (GIOI)

Enunciado

Una partícula de masa $m=2\,\mathrm {kg}$ describe un movimiento rectilíneo en el que la aceleración, como función del tiempo sigue la gráfica de la figura. La partícula parte en $t=0\,\mathrm {s}$ del reposo en $x=0$.

1. ¿Cuánto vale la rapidez de la partícula en $t=10\,\mathrm {s}$?
2. ¿Cuál es su velocidad media entre $t=0\,\mathrm {s}$ y $t=10\,\mathrm {s}$?
3. ¿Cuál es la distancia total recorrida entre Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0\,\mathrm{s}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=10\,\mathrm{s}} ?
4. ¿Cuánto vale la rapidez media en dicho intervalo?

Rapidez

Lo primero que debemos hacer es determinar la aceleración como función del tiempo, de ahí la velocidad y de ésta la posición.

La gráfica es la de una recta

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a=A+Bt\,}

que en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0\,\mathrm{s}} vale 3 m/s² y en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=2\,\mathrm{s}} vale 0. Sustituyendo estos dos valores hallamos A y B y resulta, en el SI

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a=3-\frac{3}{2}t}

Integrando esta aceleración obtenemos la velocidad

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v=v_0+\int_0^t a\,\mathrm{d}t=3t-\frac{3}{4}t^2}

La velocidad en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=10\,\mathrm{s}} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v=\left(30-\frac{300}{4}\right)\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=-45\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}

y la rapidez

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |v|= +45\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}

Velocidad media

Para la velocidad media necesitamos el desplazamiento, para el cual primero debemos hallar la posición como función del tiempo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=x_0+\int_0^t v\,\mathrm{d}t=\frac{3}{2}t^2-\frac{1}{4}t^3}

que en $t=10\,\mathrm {s}$ es

$x(10)=-100\,\mathrm {m}$

lo que nos da la velocidad media

$v_{m}={\frac {x(10)-x(0)}{10\,\mathrm {s} }}=-10\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Distancia total recorrida

La distancia recorrida no coincide con el desplazamiento porque la velocidad cambia de signo.

El cambio de signo se produce cuando la velocidad se anula lo que ocurre en

$3t-{\frac {3}{4}}t^{2}=0\qquad \Rightarrow \qquad \left\{{\begin{array}{rcl}t&=&0\,\mathrm {s} \\&&\\t&=&4\,\mathrm {s} \end{array}}\right.$

El desplazamiento entre t = 0 s y t = 4 s es

$\Delta x_{1}=x(4\,\mathrm {s} )-x(0\,\mathrm {s} )={\frac {3}{2}}4^{2}-{\frac {1}{4}}4^{3}=8\,\mathrm {m}$

y entre t = 4 s y t = 10 s

$\Delta x_{2}=x(10\,\mathrm {s} )-x(4\,\mathrm {s} )=-100-8=-108\,\mathrm {m}$

Por tanto la distancia total recorrida vale

$\Delta s=|\Delta x_{1}|+|\Delta x_{2}|=116\,\mathrm {m}$

Rapidez media

La rapidez media es la distancia total recorrida dividida por el intervalo de tiempo empleado

$|v|_{m}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {116\,\mathrm {m} }{10\,\mathrm {s} }}=1.16\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$