Aceleración lineal con el tiempo (GIOI)

Enunciado

Una partícula de masa $m=2\,\mathrm {kg}$ describe un movimiento rectilíneo en el que la aceleración, como función del tiempo sigue la gráfica de la figura. La partícula parte en $t=0\,\mathrm {s}$ del reposo en $x=0$.

1. ¿Cuánto vale la rapidez de la partícula en $t=10\,\mathrm {s}$?
2. ¿Cuál es su velocidad media entre $t=0\,\mathrm {s}$ y $t=10\,\mathrm {s}$?
3. ¿Cuál es la distancia total recorrida entre $t=0\,\mathrm {s}$ y $t=10\,\mathrm {s}$?
4. ¿Cuánto vale la rapidez media en dicho intervalo?

Rapidez

Lo primero que debemos hacer es determinar la aceleración como función del tiempo, de ahí la velocidad y de ésta la posición.

La gráfica es la de una recta

$a=A+Bt\,$

que en $t=0\,\mathrm {s}$ vale 3 m/s² y en $t=2\,\mathrm {s}$ vale 0. Sustituyendo estos dos valores hallamos A y B y resulta, en el SI

$a=3-{\frac {3}{2}}t$

Integrando esta aceleración obtenemos la velocidad

$v=v_{0}+\int _{0}^{t}a\,\mathrm {d} t=3t-{\frac {3}{4}}t^{2}$

La velocidad en $t=10\,\mathrm {s}$ es

$v=\left(30-{\frac {300}{4}}\right)\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}=-45\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

y la rapidez

$|v|=+45\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Velocidad media

Para la velocidad media necesitamos el desplazamiento, para el cual primero debemos hallar la posición como función del tiempo

$x=x_{0}+\int _{0}^{t}v\,\mathrm {d} t={\frac {3}{2}}t^{2}-{\frac {1}{4}}t^{3}$

que en $t=10\,\mathrm {s}$ es

$x(10)=-100\,\mathrm {m}$

lo que nos da la velocidad media

$v_{m}={\frac {x(10)-x(0)}{10\,\mathrm {s} }}=-10\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$

Distancia total recorrida

La distancia recorrida no coincide con el desplazamiento porque la velocidad cambia de signo.

El cambio de signo se produce cuando la velocidad se anula lo que ocurre en

$3t-{\frac {3}{4}}t^{2}=0\qquad \Rightarrow \qquad \left\{{\begin{array}{rcl}t&=&0\,\mathrm {s} \\&&\\t&=&4\,\mathrm {s} \end{array}}\right.$

El desplazamiento entre t = 0 s y t = 4 s es

$\Delta x_{1}=x(4\,\mathrm {s} )-x(0\,\mathrm {s} )={\frac {3}{2}}4^{2}-{\frac {1}{4}}4^{3}=8\,\mathrm {m}$

y entre t = 4 s y t = 10 s

$\Delta x_{2}=x(10\,\mathrm {s} )-x(4\,\mathrm {s} )=-100-8=-108\,\mathrm {m}$

Por tanto la distancia total recorrida vale

$\Delta s=|\Delta x_{1}|+|\Delta x_{2}|=116\,\mathrm {m}$

Rapidez media

La rapidez media es la distancia total recorrida dividida por el intervalo de tiempo empleado

$|v|_{m}={\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {116\,\mathrm {m} }{10\,\mathrm {s} }}=1.16\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$