Barra articulada sobre muelle Enero 2015 (MR G.I.C.)

Enunciado

En el sistema de la figura, la barra delgada homogénea Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OA} (sólido "2"), de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} y longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} , está articulada en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} . El punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} puede moverse sobre el eje fijo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1Z_1} , y está conectado a un muelle de constante elástica Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} y longitud natural Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} . El muelle siempre permanece vertical. La barra "2" está siempre contenida en el plano $O_{1}X_{0}Z_{0}$, como se indica en la figura.

1. Encuentra la reducción cinemática del movimiento {21} en los puntos $O$ y $G$.
2. Calcula el momento cinético de la barra "2" en $O$ y $G$ (${\vec {L}}_{O}$, ${\vec {L}}_{G}$).
3. Calcula la energía cinética de la barra "2".
4. Aplicando el T.C.M. y el T.M.C. escribe las ecuaciones de movimiento del sistema.
5. Escribe todas las integrales primeras del movimiento que puedas encontrar.

Solución

Reducción cinemática

Movimiento {01}

El punto $O_{1}$ pertenece al sólido "0" y está siempre en reposo respecto al sólido "1". Por tanto

${\vec {v}}_{01}^{\,O_{1}}={\vec {0}}$

Para el vector rotación tenemos

${\vec {\omega }}_{01}={\dot {\psi }}\,{\vec {k}}_{0,1}$

Movimiento {20}

De este movimiento realmente sólo nos interesa su vector rotación. El movimiento {20} es un movimiento plano, pues el plano $OX_{2}Z_{2}$ coincide siempre con el plano $O_{1}X_{0}Z_{0}$. El eje de rotación es perpendicular a este plano, es decir, paralelo al eje $Y_{2}\parallel Y_{0}$. El eje $X_{2}$ forma el ángulo $\phi$ con el eje $X_{0}$, por tanto en el vector ${\vec {\omega }}_{20}$ aparece ${\dot {\phi }}$. ¿Pero con qué signo? Cuando el vector ${\vec {\omega }}_{20}$ apunta en el sentido positivo del eje $Y0$ la rotación correspondiente hace aumentar el ángulo, por lo que ${\dot {\phi }}>0$. Para que el sentido del vector y el signo de la derivada sean coherentes tenemos que poner

${\vec {\omega }}_{20}={\dot {\phi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}$

Señalemos que la flecha indicando el sentido del ángulo no influye en el signo que hay que poner. Lo importante es el signo de la derivada del ángulo.

Movimiento {21}

El punto $O$ de la barra se mueve verticalmente. Su velocidad absoluta es

${\vec {v}}_{21}^{\,O}={\dot {z}}\,{\vec {k}}_{0,1}$

Para el vector rotación aplicamos las leyes de composición

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}={\dot {\phi }}\,{\vec {\jmath }}_{0}+{\dot {\psi }}\,{\vec {k}}_{0}=[0,{\dot {\phi }},{\dot {\psi }}]_{0}$

Ya tenemos la reducción cinemática en el punto $O$. Para obtenerla en el centro de masas de la barra $G$ aplicamos el teorema de Chasles

${\vec {v}}_{21}^{\,G}={\vec {v}}_{21}^{\,O}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {OG}}=\left[-{\dfrac {1}{2}}L{\dot {\phi }}\,\mathrm {sen} \,\phi ,{\dfrac {1}{2}}L{\dot {\psi }}\cos \phi ,{\dot {z}}-{\dfrac {1}{2}}L{\dot {\phi }}\cos \phi \right]_{0}$

Momento cinético de la barra

Calculamos primero el momento cinético en el centro de masas. El tensor de inercia de la barra en su centro de masas expresado en la base "2" solidaria con la barra es

${\stackrel {\leftrightarrow }{I}}_{G}=I\left[{\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]_{2}$

con $I=mL^{2}/12$.

El momento cinético respecto al centro de masas es

${\vec {L}}_{G}={\stackrel {\leftrightarrow }{I}}_{G}\cdot {\vec {\omega }}_{21}$

Necesitamos el vector rotación expresado en la base "2". De la figura vemos que

${\vec {\jmath }}_{0}={\vec {\jmath }}_{2}\,\qquad {\vec {k}}_{0}=-\mathrm {sen} \,\phi \,{\vec {\imath }}_{2}+\cos \phi \,{\vec {\jmath }}_{2}$

y entonces el vector rotación es

${\vec {\omega }}_{21}=-{\dot {\psi }}\,\mathrm {sen} \,\phi \,{\vec {\imath }}_{2}+{\dot {\phi }}\,{\vec {\jmath }}_{2}+{\dot {\psi }}\cos \phi \,{\vec {k}}_{2}$

El momento cinético en la base "2" es

${\vec {L}}_{G}={\stackrel {\leftrightarrow }{I}}_{G}\cdot {\vec {\omega }}_{21}=I\left[{\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]_{2}\left[{\begin{array}{c}-{\dot {\psi }}\,\mathrm {sen} \,\phi \\{\dot {\phi }}\\{\dot {\psi }}\cos \phi \\\end{array}}\right]_{2}=[0,I{\dot {\phi }},I{\dot {\psi }}\cos \phi ]_{2}$

En este caso, lo mas fácil para calcular el momento cinético en el punto $O$ es utilizar la expresión del momento cinético en un punto móvil

${\vec {L}}_{O}={\stackrel {\leftrightarrow }{I}}_{G}\cdot {\vec {\omega }}_{21}+m{\overrightarrow {OG}}\times {\vec {v}}_{21}^{O}$

El tensor de inercia en $O$ es

${\stackrel {\leftrightarrow }{I}}_{O}=I_{O}\left[{\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]_{2}$

con $I_{O}=mL^{2}/3$. El término asociado al tensor de inercia es

${\stackrel {\leftrightarrow }{I}}_{O}\cdot {\vec {\omega }}_{21}=I_{O}\left[{\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right]_{2}\left[{\begin{array}{c}-{\dot {\psi }}\,\mathrm {sen} \,\phi \\{\dot {\phi }}\\{\dot {\psi }}\cos \phi \\\end{array}}\right]_{2}=[0,I_{O}{\dot {\phi }},I_{O}{\dot {\psi }}\cos \phi ]_{2}$

Para el otro término expresamos todos los vectores en la base del sólido "2"

${\begin{array}{l}{\overrightarrow {OG}}={\dfrac {1}{2}}L\,{\vec {\imath }}_{2}\\\\{\vec {v}}_{21}^{\,O}={\dot {z}}\,{\vec {k}}_{0}=-{\dot {z}}\,\mathrm {sen} \,\phi \,\,{\vec {\imath }}_{2}+{\dot {z}}\cos \phi {\vec {k}}_{2}\end{array}}$

Entonces

$m{\overrightarrow {OG}}\times {\vec {v}}_{21}^{\,O}={\dfrac {1}{2}}mL{\dot {z}}\cos \phi \,{\vec {\jmath }}_{2}$

Y el momento cinético en $O$ es

${\vec {L}}_{O}=\left[0,I_{O}{\dot {\phi }}+{\dfrac {1}{2}}mL{\dot {z}}\cos \phi ,I_{O}{\dot {\psi }}\cos \phi \right]_{2}$

Otra posibilidad es calcular el momento cinético en $O$ usando la ecuación del campo de momentos para el momento cinético

${\vec {L}}_{O}={\vec {L}}_{G}+{\vec {C}}\times {\overrightarrow {GC}}$

Energía cinética de la barra

De nuevo hay varias formas de calcular la energía cinética. Lo mas fácil es pasar por el centro de masas. Así

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}_{21}^G|^2 + \dfrac{1}{2}\vec{\omega}_{21}\cdot\stackrel{\leftrightarrow}{I}_G\cdot\vec{\omega}_{21} }

El primer término, la energía cinética de traslación, es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_{tras} = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}_{21}^G|^2 = \dfrac{1}{8}m \left( 4\dot{z}^2 - 4L\dot{z}\dot{\phi}\cos\phi + L^2\dot{\phi}^2+L^2\dot{\psi}^2\cos^2\phi) \right) }

El término de energía rotación puede calcularse utilizando el momento cinético en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} calculado antes

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_{rot} = \dfrac{1}{2}\vec{\omega}_{21}\cdot\stackrel{\leftrightarrow}{I}_G\cdot\vec{\omega}_{21} = \dfrac{1}{2}\vec{L}_G\cdot\vec{\omega}_{21} = \dfrac{1}{2}I\left(\dot{\phi}^2 + \dot{\psi}^2\cos\phi\right) }

La energía cinética total es la suma de los dos términos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = T_{tras} + T_{rot} }

Ecuaciones de movimiento

Fuerzas y pares sobre la barra

Las fuerzas activas que actúan sobre la barra son su peso y la fuerza del muelle. Sus expresiones y el punto en que se aplican son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \vec{P} = -mg\,\vec{k}_0, & \qquad & G\\ &&\\ \vec{F}_k = -k(z-L)\,\vec{k}_0 & \qquad & O\\ \end{array} }

Por otro lado, la barra es un sólido vinculado. Recordemos primero que una barra delgada tiene sólo 5 grados de libertad, pues no se consideran rotaciones alrededor de su eje. La reducción cinemática en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} tiene como componentes no nulas una de traslación y dos de rotación. Por tanto, en la desvinculación aparecen dos componentes de fuerza para impedir las traslaciones en las direcciones de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X_0} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y_0} . Así, la barra está sometida a una fuerza de ligadura

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \vec{\Phi}^{\,O}_{21} = O_x\,\vec{\imath}_0 + O_y\,\vec{\jmath}_0&\qquad & O \end{array} }

EL número total de incógnitas es 5

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{z(t), \phi(t), \psi(t), O_x(t), O_y(t)\} }

Tenemos suficientes ecuaciones para plantear el problema. Recordemos de nuevo que uno de los grados de libertad se pierde.

El T.C.M. queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\vec{C}} = \vec{P} + \vec{F}_k + \vec{\Phi}^{\,O}_{21} }

De aquí obtenemos tres ecuaciones escalares, una por cada componente.

T.C.M.

La cantidad de movimiento de la barra es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{C} = m\vec{v}^{\,G}_{21} = \left[ -m\dfrac{1}{2}L\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi, m\dfrac{1}{2}L\dot{\psi}\cos\phi, m(\dot{z}-\dfrac{1}{2}L\dot{\phi}\cos\phi) \right]_0 }

La derivada temporal hay que hacerla respecto al sistema absoluto. Como la cantidad de movimiento está expresada en la base "0", hay que aplicar la fórmula de Poisson

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{C}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{C}}{\mathrm{d}t}\right|_0 + \vec{\omega}_{01}\times\vec{C} }

Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{C}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = \left[ -\dfrac{1}{2}mL(\ddot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi + \dot{\phi}^2\cos\phi),\, \dfrac{1}{2}mL(\ddot{\psi}\cos\phi - \dot{\psi}\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi) ,\, m(\ddot{z}-\dfrac{1}{2}L(\ddot{\phi}\cos\phi - \dot{\phi}^2\,\mathrm{sen}\,\phi)) \right]_0 }

Por otro lado

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}\times\vec{C} = \left[ -\dfrac{1}{2}mL\dot{\psi}^2\cos\phi, \, -\dfrac{1}{2}mL\dot{\psi}\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi, \, 0 \right]_0 }

Entonces, las tres ecuaciones escalares que obtenemos del T.C.M son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lclr} -\dfrac{1}{2}mL(\ddot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi + \dot{\phi}^2\cos\phi + \dot{\psi}^2\cos\phi) &=& O_x&(1)\\ &&&\\ \dfrac{1}{2}mL(\ddot{\psi}\cos\phi - 2\dot{\psi}\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi) &=& O_y &(2)\\ &&&\\ m\left(\ddot{z}-\dfrac{1}{2}L(\ddot{\phi}\cos\phi - \dot{\phi}^2\,\mathrm{sen}\,\phi)\right) &=& -mg - k(z-L) & (3) \end{array} }

T.M.C.

Aplicamos el T.M.C. en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} . Al ser el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} móvil tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\vec{L}}_O = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{M}_O^{\mathrm{ext}} + \vec{C}\times\dot{\overrightarrow{O_1O}} }

El momento cinético en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} lo hemos calculado en la base "2". Para hacer la derivada temporal respecto de la base "1" tenemos que aplicar una fórmula de Poisson. Pero el cálculo es más sencillo si primero expresamos el momento en la base "0". De la figura vemos que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{\jmath}_2 = \vec{\jmath}_0\\ \\ \vec{k}_2 = \mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\imath}_0 + \cos\phi\,\vec{k}_0\\ \end{array} }

por lo que el vector Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_O } expresado en la base "0" es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_O = \left[ \begin{array}{c} I_O\dot{\psi}\,\mathrm{sen}\,\phi\cos\phi\\ \\ I_O\dot{\phi}+\dfrac{1}{2}mL\dot{z}\cos\phi\\ \\ I_O\dot{\psi}\cos^2\phi \end{array} \right]_0 = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{1}{2}I_O\dot{\psi}\,\mathrm{sen}\,(2\phi)\\ \\ I_O\dot{\phi}+\dfrac{1}{2}mL\dot{z}\cos\phi\\ \\ \dfrac{1}{2}I_O\dot{\psi}(1+\cos(2\phi)) \end{array} \right]_0 }

La derivada temporal absoluta es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}\right|_0 + \vec{\omega}_{01}\times\vec{L}_O }

Derivamos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}\right|_0 = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{1}{2}I_O\,(\ddot{\psi}\,\mathrm{sen}\,(2\phi)+2\dot{\psi}\dot{\phi}\cos(2\phi))\\ \\ I_O\ddot{\phi} + \dfrac{1}{2}mL\,(\ddot{z}\cos\phi-\dot{z}\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi)\\ \\ \dfrac{1}{2}I_O\,(\ddot{\psi}\,(1+\cos(2\phi)) -2\dot{\psi}\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,(2\phi)) \end{array} \right]_0 }

El producto vectorial es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01}\times\vec{L}_O = \left[ \begin{array}{c} -I_O\dot{\psi}\dot{\phi} -\dfrac{1}{2}mL\dot{z}\dot{\psi}\cos\phi\\ \\ \dfrac{1}{2}I_O\dot{\psi}^2\,\mathrm{sen}\,(2\phi)\\ \\ 0 \end{array} \right]_0 }

Es decir, la derivada absoluta del momento cinético en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{1}{2}I_O\,(\ddot{\psi}\,\mathrm{sen}\,(2\phi)+2\dot{\psi}\dot{\phi}(\cos(2\phi) -1)) -\dfrac{1}{2}mL\dot{z}\dot{\psi}\cos\phi\\ \\ \dfrac{1}{2}I_O\,(2\ddot{\phi}+\dot{\psi}^2\,\mathrm{sen}\,(2\phi)) + \dfrac{1}{2}mL\,(\ddot{z}\cos\phi-\dot{z}\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi)\\ \\ \dfrac{1}{2}I_O\,(\ddot{\psi}\,(1+\cos(2\phi)) -2\dot{\psi}\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,(2\phi)) \end{array} \right]_0 }

Veamos ahora el lado derecho del T.M.C. Respecto a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } , sólo el peso ejerce un momento no nulo. Entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{M}_O^{\mathrm{ext}} = \overrightarrow{OG}\times\vec{P} = \dfrac{1}{2}L\,(\cos\phi\,\vec{\imath}_0 - \mathrm{sen}\,\phi\,\vec{k}_0)\times(-mg\,\vec{k}_0) = \dfrac{1}{2}mgL\cos\phi\,\vec{\jmath}_0 = \left[ \begin{array}{c} 0\\ \\ \dfrac{1}{2}mgL\cos\phi\\ \\ 0 \end{array} \right]_0 }

Y para el término extra, presente porque el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } es móvil, tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{C}\times\overrightarrow{O_1O} = \vec{C}\times\vec{v}^O_{21} = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{1}{2}mL\dot{z}\dot{\psi}\cos\phi\\ \\ \dfrac{1}{2}mL\dot{z}\dot{\psi}\,\mathrm{sen}\,\phi\\ \\ 0 \end{array} \right]_0 }

De este modo, el lado derecho del T.C.M. es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{M}_O^{\mathrm{ext}} + \vec{C}\times\overrightarrow{O_1O} = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{1}{2}mL\dot{z}\dot{\psi}\cos\phi\\ \\ \dfrac{1}{2}mgL\cos\phi + \dfrac{1}{2}mL\dot{z}\dot{\psi}\,\mathrm{sen}\,\phi\\ \\ 0 \end{array} \right]_0 }

Al igualar la derivada del momento cinético con el lado derecho del T.C.M. obtenemos 3 ecuaciones diferenciales. Las dos primeras, junto con la ecuación (3), son las 3 ecuaciones de movimiento para los grados de libertad Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{z,\phi,\psi\} }

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lclr} \ddot{\psi}\,\mathrm{sen}\,(2\phi)+2\dot{\psi}\dot{\phi}(\cos(2\phi) -1) &=& \dfrac{2mL}{I_O}\dot{z}\dot{\psi}\cos\phi & (4)\\ &&&\\ I_O\,(2\ddot{\phi}+\dot{\psi}^2\,\mathrm{sen}\,(2\phi)) + mL\,(\ddot{z}\cos\phi-\dot{z}\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi) &=& mgL\cos\phi + mL\dot{z}\dot{\psi}\,\mathrm{sen}\,\phi & (5)\\ &&&\\ \ddot{z}-\dfrac{1}{2}L(\ddot{\phi}\cos\phi - \dot{\phi}^2\,\mathrm{sen}\,\phi) &=& -g - \dfrac{k}{m}\,(z-L) & (3) \end{array} }

Las ecuaciones (1) y (2) dan las componentes de la fuerza de ligadura en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O }

Integrales primeras de movimiento

La fuerza de ligadura en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } es perpendicular a la velocidad del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } , pues el vínculo es liso. Por tanto, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\Phi}^O_{21} } no hace trabajo. Las otras dos fuerzas, las de la gravedad y el muelle, son conservativas. Entonces la energía mecánica definida con las energías potenciales asociadas al peso y al muelle se conservan. Estas energías potenciales son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_g = mg\,\left(z-\dfrac{1}{2}L\,\mathrm{sen}\,\phi\right), \qquad U_k = \dfrac{1}{2}k\,(z-L)^2 }

Hemos escogido como origen de energía potencial gravitatoria la altura correspondiente al plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1X_1Y_1 } .

La energía mecánica total, que se conserva, es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_m = T + U_g + U_k }

Por otro lado, hay otra magnitud invariante asociada al T.M.C. Como hemos visto, aplicado en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } el teorema dice

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{M}_O^{\mathrm{ext}} + \vec{C}\times\dot{\overrightarrow{O_1O}} }

En el término del momento sólo interviene el peso, que es paralelo al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1Z_0 } . Entonces no tiene componente en ese eje. Además, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\overrightarrow{O_1O}}=\vec{v}_{21}^O } sólo tiene componente en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1Z_0 } , por lo que el producto vectorial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{C}\times\dot{\overrightarrow{O_1O}} } no tiene componente en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1Z_0 } . Entonces el lado derecho del T.M.C. no tiene componente en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{k}_0 } , por lo que la proyección del momento cinético en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } sobre ese eje se conserva. Es decir

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_O\cdot\vec{k}_0 = \dfrac{1}{2}I_O\dot{\psi}\,(1+\cos(2\phi))=\mathrm{cte} }

Esto ya lo hemos obtenido al aplicar el T.C.M. para obtener las ecuaciones de movimiento (5) y (6). Ahí ya salía que la componente en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O_1Z_0 } del término derecho del T.M.C. era cero.