Sep. 2018 (M.R.) Disco rodando sobre escuadra giratoria

Enunciado

Un disco (sólido "2") de masa $M$ y radio $R$, rueda sin deslizar sobre una escuadra (sólido "0") de masa despreciable. La escuadra gira en el plano $OX_{1}Y_{1}$ con velocidad angular constante $\omega _{0}$.

1. Encuentra reducciones cinemáticas de todos los movimientos del problema en el centro del disco $G$.
2. Calcula el momento cinético del disco respecto a $G$ y $O$, su energía cinética y su energía potencial.
3. Aplicando los métodos de la Mecánica Vectorial, encuentra las ecuaciones de movimiento del disco. ¿Cuál es la frecuencia propia de oscilación del sistema (también llamada frecuencia natural)?
4. Encuentra las fuerzas y momentos que actúan sobre la escuadra (sólido "0") para que se mueva de la forma descrita.

Solución

Reducciones cinemáticas

Para el movimiento {01}

${\vec {\omega }}_{01}={\dot {\phi }}\,{\vec {k}}=\omega _{0}\,{\vec {k}}_{0},\qquad {\vec {v}}_{01}^{\,O}={\vec {0}}.$

El vector geométrico ${\overrightarrow {OG}}$ es

${\overrightarrow {OG}}=s\,{\vec {\imath }}_{0}+R\,{\vec {\jmath }}_{0}.$

La velocidad de este movimiento en $G$ es

${\vec {v}}_{01}^{\,G}={\vec {v}}_{01}^{\,O}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OG}}=-R\omega _{0}\,{\vec {\imath }}_{0}+s\omega _{0}\,{\vec {\jmath }}_{0}$

Para el movimiento {20}

${\vec {\omega }}_{20}={\dot {\theta }}\,{\vec {k}}.\qquad {\vec {v}}_{20}^{\,G}={\dot {s}}\,{\vec {\imath }}_{0},\qquad {\vec {v}}_{20}^{\,A}={\vec {0}}.$

Aplicamos Chasles para encontrar la ligadura entre $\theta$ y $s$

${\vec {v}}_{20}^{\,G}={\vec {v}}_{20}^{\,A}+{\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {AG}}=-R{\dot {\theta }}\,{\vec {\imath }}_{0}={\dot {s}}\,{\vec {\imath }}_{0}.$

La reducción cinemática en $G$ es

${\vec {\omega }}_{20}=-{\dfrac {\dot {s}}{R}}\,{\vec {k}},\qquad {\vec {v}}_{20}^{\,G}={\dot {s}}\,{\vec {\imath }}_{0}.$

Para el movimiento {21} aplicamos las leyes de composición

${\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}=\left(w_{0}-{\dfrac {\dot {s}}{R}}\right)\,{\vec {k}}.\\\\{\vec {v}}_{21}^{\,G}={\vec {v}}_{20}^{\,G}+{\vec {v}}_{01}^{\,G}=(-R\omega _{0}+{\dot {s}})\,{\vec {\imath }}_{0}+\omega _{0}s\,{\vec {\jmath }}_{0}.\end{array}}$

Cinética

Momento cinético

El momento cinético en $G$ es

${\vec {L}}_{G}=I_{G}{\vec {\omega }}_{21}$

Al ser un movimiento plano no hay que usar el tensor de inercia. El momento de inercia de la expresión es $I_{G}=mR^{2}/2$. Por tanto

${\vec {L}}_{G}={\dfrac {1}{2}}mR^{2}\,\left(w_{0}-{\dfrac {\dot {s}}{R}}\right)\,{\vec {k}}.$

Calculamos el momento cinético en $O$ usando la ecuación del campo de momentos cinéticos para trasladar ${\vec {L}}_{G}$

${\vec {L}}_{O}={\vec {L}}_{G}+{\vec {C}}\times {\overrightarrow {GO}}.$

La cantidad de movimiento es

${\vec {C}}=m{\vec {v}}_{21}^{\,G}=m(-R\omega _{0}+{\dot {s}})\,{\vec {\imath }}_{0}+m\omega _{0}s\,{\vec {\jmath }}_{0}.$

El momento angular en $O$ es

${\vec {L}}_{O}={\dfrac {1}{2}}m\,\left(3R^{2}w_{0}+2\omega _{0}s^{2}-3R{\dot {s}}\right)\,{\vec {k}}.$

Energía cinética

Calculamos la energía cinética pasando por el Centro de Masas

$T=T_{T}+T_{R}={\dfrac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{21}^{\,G}|^{2}+{\dfrac {1}{2}}I_{G}|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}={\dfrac {m}{4}}\,\left(2\omega _{0}^{2}s^{2}+3({\dot {s}}-R\omega _{0})^{2}\right).$

Energía potencial

Contribuyen la energía elástica del muelle, $U_{k}$, y la energía potencial gravitatoria, $U_{g}$. Como el muelle tiene longitud natural nula tenemos

$U_{k}={\dfrac {1}{2}}ks^{2}.$

Para la gravedad tomamos como referencia el eje $OX_{1}$. La energía potencial gravitatoria es

$U_{g}=mgh,$

donde $h$ es la altura del centro del disco respecto a este eje. La forma mas fácil de calcularla es hacer el producto escalar

$h={\overrightarrow {OG}}\cdot {\vec {\jmath }}_{1}.$

Del dibujo vemos que

${\vec {\jmath }}_{1}=\mathrm {sen} \,(\omega _{0}t)\,{\vec {\imath }}_{0}+\cos(\omega _{0}t)\,{\vec {\jmath }}_{0}.$

Entonces

$h=R\cos(\omega _{0}t)+s\,\mathrm {sen} \,(\omega _{0}t),$

y la energía potencial total es

$U=U_{k}+U_{g}={\dfrac {1}{2}}ks^{2}+mg(R\cos(\omega _{0}t)+s\,\mathrm {sen} \,(\omega _{0}t)).$

Ecuaciones de movimiento con Mecánica Vectorial

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre el disco. Las fuerzas activas son el peso y la fuerza del muelle. Las vinculares son la normal en $A$ y la fuerza de rozamiento en $A$. Tiene que haber rozamiento, pues en caso contrario no habría rodadura sin deslizamiento.

Expresamos las fuerzas en la base del sólido "0"

${\begin{array}{l}{\vec {P}}=-mg\,\mathrm {sen} \,\phi \,{\vec {\imath }}_{0}-mg\cos \phi \,{\vec {\jmath }}_{0},\\\\{\vec {F}}_{k}=-ks\,{\vec {\imath }}_{0},\\\\{\vec {A}}_{20}=A\,{\vec {\jmath }}_{0},\\\\{\vec {f}}_{20}^{\,A}=f\,{\vec {\imath }}_{0}\qquad (f>0).\end{array}}$

Sabemos que la fuerza de rozamiento apunta hacia la derecha pues, si no hubiera rozamiento, el disco deslizaría hacia la izquierda.

Necesitamos la derivada de la reducción cinemática {21} en $G$. Vamos a calcularla usando las leyes de composición. Tenemos

${\begin{array}{lcl}{\vec {\alpha }}_{01}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{01}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {0}},&&{\vec {a}}_{01}^{\,0}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{01}^{\,O}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {0}}.\\&&\\{\vec {\alpha }}_{20}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{20}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}=-{\dfrac {\ddot {s}}{R}}\,{\vec {k}},&&{\vec {a}}_{20}^{\,G}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {v}}_{20}^{\,G}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}={\ddot {s}}\,{\vec {\imath }}_{0}.\end{array}}$

Usando las leyes de composición

${\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01}=-{\dfrac {\ddot {s}}{R}}\,{\vec {k}},$

y

${\begin{array}{rl}{\vec {a}}_{21}^{\,G}&={\vec {a}}_{20}^{\,G}+{\vec {a}}_{01}^{\,G}+2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,G}=({\ddot {s}}-\omega _{0}^{2}s)\,{\vec {\imath }}_{0}+(2\omega _{0}{\dot {s}}-R\omega _{0}^{2})\,{\vec {\jmath }}_{0}\\&\\&{\vec {a}}_{20}^{\,G}={\vec {0}}\\&\\&{\vec {a}}_{01}^{\,G}={\vec {a}}_{01}^{\,O}+{\vec {\alpha }}_{01}\times {\overrightarrow {OG}}+{\vec {\omega }}_{01}\times ({\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OG}})=-s\omega _{0}^{2}\,{\vec {\imath }}_{0}-R\omega _{0}^{2}\,{\vec {\jmath }}_{0}\\&\\&2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{\,G}=2\omega _{0}{\dot {s}}\,{\vec {\jmath }}_{0}\end{array}}$

T.C.M.

El teorema dice

$m{\vec {a}}_{21}^{\,G}={\vec {P}}+{\vec {F}}_{k}+{\vec {A}}_{20}+{\vec {f}}_{20}^{\,A}.$

Obtenemos 2 ecuaciones

${\begin{array}{lclr}X_{0})&\to &m({\ddot {s}}-\omega _{0}^{2}s)=-ks+f-mg\,\mathrm {sen} \,(\omega _{0}t),&(1)\\&&&\\Y_{0})&\to &m(2\omega _{0}{\dot {s}}-R\omega _{0}^{2})=-mg\cos(\omega _{0}t)+A.&(2)\end{array}}$

T.M.C.

Aplicamos el teorema en el centro del disco, su centro de masas

$\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {L}}_{G}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {M}}_{G}^{neto}$

La derivada temporal del momento angular es

$\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {L}}_{G}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=I_{G}{\vec {\alpha }}_{21}=-{\dfrac {1}{2}}mR{\ddot {s}}\,{\vec {k}}.$

La única fuerza que crea momento respecto al punto $G$ es la de rozamiento. El peso y la fuerza elástica están aplicadas en $G$, y la recta soporte de ${\vec {N}}_{A}$ contiene a $G$. Tenemos

${\vec {M}}_{G}^{neto}={\overrightarrow {GA}}\times {\vec {f}}_{20}^{\,A}=Rf\,{\vec {k}}.$

La ecuación que proporciona el T.M.C. es

$-{\dfrac {1}{2}}m{\ddot {s}}=f.\qquad (3)$

Tenemos 3 ecuaciones y 3 incógnitas: $\{s,N_{A},f\}$. El problema está bien definido.

Sustituyendo (3) en (1) obtenemos una ecuación en la que sólo aparece $s(t)$ y sus derivadas

${\ddot {s}}+{\dfrac {2}{3}}\,\left({\dfrac {k}{m}}-\omega _{0}^{2}\right)\,s=-{\dfrac {2}{3}}g\,\mathrm {sen} \,(\omega _{0}t).$

Si el término que multiplica a $s$ es positivo, esta es la ecuación de un oscilador armónico forzado con frecuencia natural

$\omega ={\sqrt {{\dfrac {k}{m}}-\omega _{0}^{2}}}\qquad {\dfrac {k}{m}}>\omega _{0}^{2}.$

Las componentes de las fuerzas vinculares son

${\begin{array}{l}A=mg\cos(\omega _{0}t)+m(2\omega _{0}{\dot {s}}-R\omega _{0}^{2})s,\\\\f=-{\dfrac {1}{2}}m{\ddot {s}}={\dfrac {1}{3}}mg\,\mathrm {sen} \,(\omega _{0}t)+{\dfrac {1}{3}}(k-m\omega _{0}^{2})s.\end{array}}$

Fuerzas y momentos sobre la escuadra

La figura muestra las fuerzas y momentos que actúan sobre la escuadra. EL punto $O$ es fijo, por lo que hay que añadir una fuerza vincular para que la ligadura se respete. Las otras fuerzas son pares de acción reacción de las fuerzas sobre el disco. Tenemos

${\begin{array}{l}{\vec {O}}_{01}=O_{x}\,{\vec {\imath }}_{0}+O_{y}\,{\vec {\jmath }}_{0},\\\\{\vec {A}}_{02}=-{\vec {A}}_{20}=-A\,{\vec {\jmath }}_{0},\\\\{\vec {f}}_{02}^{\,A}=-{\vec {f}}_{20}^{\,A}=-f\,{\vec {\imath }}_{0},\\\\{\vec {\tau }}=\tau ,{\vec {k}}.\end{array}}$

Las expresiones de $f$ y $A$ son las que hemos obtenido en el apartado anterior.

La masa de la escuadra es despreciable, por tanto, $m_{0}=0$. Entonces, al aplicar el T.C.M. y el T.M.C. los términos de inercia, donde aparece la masa del sólido, son nulos. Aplicando el T.C.M. obtenemos

${\dot {{\vec {C}}_{0}}}=m_{0}{\vec {a}}_{01}^{\,CM}={\vec {0}}={\vec {O}}_{01}+{\vec {A}}_{02}+{\vec {f}}_{02}^{\,A}\Longrightarrow {\vec {O}}_{01}=-{\vec {A}}_{02}-{\vec {f}}_{02}^{\,A}=f\,{\vec {\imath }}_{0}+A\,{\vec {\jmath }}_{0}.$

Aplicamos el T.M.C en $O$ como $m_{0}=0$ tenemos $I_{O}=0$ y ${\vec {L}}_{O}^{0}={\vec {0}}$ en todo instante de tiempo. Entonces

${\dot {\vec {L}}}_{O}^{0}={\vec {0}}={\vec {\tau }}+{\overrightarrow {OA}}\times {\vec {A}}_{02}\Longrightarrow {\vec {\tau }}=-{\overrightarrow {OA}}\times {\vec {A}}_{02}=-(s\,{\vec {\imath }}_{0})\times (-A\,{\vec {\jmath }}_{0})=sA\,{\vec {k}}.$

Las expresión de $s$ se obtendría resolviendo la ecuación de movimiento y la $A$ la que hemos encontrado en el apartado anterior.