Sep. 2018 (M.R.) Disco rodando sobre escuadra giratoria

Enunciado

Un disco (sólido "2") de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M} y radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} , rueda sin deslizar sobre una escuadra (sólido "0") de masa despreciable. La escuadra gira en el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1} con velocidad angular constante Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega_0} .

1. Encuentra reducciones cinemáticas de todos los movimientos del problema en el centro del disco Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} .
2. Calcula el momento cinético del disco respecto a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} , su energía cinética y su energía potencial.
3. Aplicando los métodos de la Mecánica Vectorial, encuentra las ecuaciones de movimiento del disco. ¿Cuál es la frecuencia propia de oscilación del sistema (también llamada frecuencia natural)?
4. Encuentra las fuerzas y momentos que actúan sobre la escuadra (sólido "0") para que se mueva de la forma descrita.

Solución

Reducciones cinemáticas

Para el movimiento {01}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01} = \dot{\phi}\,\vec{k} = \omega_0\,\vec{k}_0, \qquad \vec{v}^{\,O}_{01}=\vec{0}. }

El vector geométrico Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OG}} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{OG} = s\,\vec{\imath}_0 + R\,\vec{\jmath}_0. }

La velocidad de este movimiento en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,G}_{01} = \vec{v}^{\,O}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OG} = -R\omega_0\,\vec{\imath}_0 +s\omega_0\,\vec{\jmath}_0 }

Para el movimiento {20}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20} = \dot{\theta}\,\vec{k}. \qquad \vec{v}^{\,G}_{20}=\dot{s}\,\vec{\imath}_0, \qquad \vec{v}^{\,A}_{20}=\vec{0}. }

Aplicamos Chasles para encontrar la ligadura entre Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}^{\,G}_{20} = \vec{v}^{\,A}_{20} + \vec{\omega}_{20}\times\overrightarrow{AG} = -R\dot{\theta}\,\vec{\imath}_0 = \dot{s}\,\vec{\imath}_0. }

La reducción cinemática en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20} = -\dfrac{\dot{s}}{R}\,\vec{k}, \qquad \vec{v}^{\,G}_{20} = \dot{s}\,\vec{\imath}_0. }

Para el movimiento {21} aplicamos las leyes de composición

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} = \left(w_0-\dfrac{\dot{s}}{R}\right)\,\vec{k}.\\ \\ \vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,G}_{20} + \vec{v}^{\,G}_{01} = (-R\omega_0 + \dot{s})\,\vec{\imath}_0 + \omega_0 s\,\vec{\jmath}_0. \end{array} }

Cinética

Momento cinético

El momento cinético en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_G = I_G\vec{\omega}_{21} }

Al ser un movimiento plano no hay que usar el tensor de inercia. El momento de inercia de la expresión es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_G = mR^2/2} . Por tanto

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_G = \dfrac{1}{2}mR^2\,\left(w_0-\dfrac{\dot{s}}{R}\right)\,\vec{k}. }

Calculamos el momento cinético en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} usando la ecuación del campo de momentos cinéticos para trasladar Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_G}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_O = \vec{L}_G + \vec{C}\times\overrightarrow{GO}. }

La cantidad de movimiento es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{C} = m\vec{v}^{\,G}_{21}= m(-R\omega_0 + \dot{s})\,\vec{\imath}_0 + m\omega_0 s\,\vec{\jmath}_0. }

El momento angular en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_O = \dfrac{1}{2}m\,\left(3R^2w_0+2\omega_0s^2-3R\dot{s}\right)\,\vec{k}. }

Energía cinética

Calculamos la energía cinética pasando por el Centro de Masas

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T = T_T + T_R = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,G}_{21}|^2 + \dfrac{1}{2}I_G|\vec{\omega}_{21}|^2 = \dfrac{m}{4}\,\left( 2\omega_0^2s^2 + 3(\dot{s}-R\omega_0)^2 \right). }

Energía potencial

Contribuyen la energía elástica del muelle, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_k} , y la energía potencial gravitatoria, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_g} . Como el muelle tiene longitud natural nula tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_k = \dfrac{1}{2}ks^2. }

Para la gravedad tomamos como referencia el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1} . La energía potencial gravitatoria es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U_g = mgh, }

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h} es la altura del centro del disco respecto a este eje. La forma mas fácil de calcularla es hacer el producto escalar

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h = \overrightarrow{OG}\cdot\vec{\jmath}_1. }

Del dibujo vemos que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\jmath}_1 = \mathrm{sen}\,(\omega_0 t)\,\vec{\imath}_0 + \cos(\omega_0 t)\,\vec{\jmath}_0. }

Entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h = R\cos(\omega_0 t) + s\,\mathrm{sen}\,(\omega_0 t), }

y la energía potencial total es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U = U_k + U_g = \dfrac{1}{2}ks^2 + mg(R\cos(\omega_0 t) + s\,\mathrm{sen}\,(\omega_0 t)). }

Ecuaciones de movimiento con Mecánica Vectorial

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre el disco. Las fuerzas activas son el peso y la fuerza del muelle. Las vinculares son la normal en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y la fuerza de rozamiento en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} . Tiene que haber rozamiento, pues en caso contrario no habría rodadura sin deslizamiento.

Expresamos las fuerzas en la base del sólido "0"

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{P} = -mg\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\imath}_0 -mg\cos\phi\,\vec{\jmath}_0,\\ \\ \vec{F}_k = -ks\,\vec{\imath}_0,\\ \\ \vec{A}_{20} = A\,\vec{\jmath}_0, \\ \\ \vec{f}^{\,A}_{20} = f\,\vec{\imath}_0 \qquad (f>0). \end{array} }

Sabemos que la fuerza de rozamiento apunta hacia la derecha pues, si no hubiera rozamiento, el disco deslizaría hacia la izquierda.

Necesitamos la derivada de la reducción cinemática {21} en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} . Vamos a calcularla usando las leyes de composición. Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \vec{\alpha}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{0}, && \vec{a}^{\,0}_{01} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,O}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{0}.\\ &&\\ \vec{\alpha}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = -\dfrac{\ddot{s}}{R}\,\vec{k}, && \vec{a}^{\,G}_{20} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}^{\,G}_{20}}{\mathrm{d}t}\right|_0 = \ddot{s}\,\vec{\imath}_0. \end{array} }

Usando las leyes de composición

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} = -\dfrac{\ddot{s}}{R}\,\vec{k}, }

y

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{rl} \vec{a}^{\,G}_{21}& = \vec{a}^{\,G}_{20} + \vec{a}^{\,G}_{01} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,G}_{20} = (\ddot{s} -\omega_0^2s)\,\vec{\imath}_0 + (2\omega_0\dot{s}-R\omega_0^2)\,\vec{\jmath}_0 \\ &\\ & \vec{a}^{\,G}_{20} = \vec{0}\\ &\\ & \vec{a}^{\,G}_{01} = \vec{a}^{\,O}_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OG} + \vec{\omega}_{01}\times(\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OG}) = -s\omega_0^2\,\vec{\imath}_0 -R\omega_0^2\,\vec{\jmath}_0\\ &\\ & 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,G}_{20} = 2\omega_0\dot{s}\,\vec{\jmath}_0 \end{array} }

T.C.M.

El teorema dice

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{a}^{\,G}_{21} = \vec{P} + \vec{F}_k + \vec{A}_{20} + \vec{f}^{\,A}_{20}. }

Obtenemos 2 ecuaciones

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lclr} X_0) & \to & m(\ddot{s} -\omega_0^2s) = -ks + f -mg\,\mathrm{sen}\,(\omega_0t) , & (1)\\ &&&\\ Y_0) & \to & m(2\omega_0\dot{s}-R\omega_0^2) = -mg\cos(\omega_0t) + A.& (2) \end{array} }

T.M.C.

Aplicamos el teorema en el centro del disco, su centro de masas

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_G}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{M}_G^{neto} }

La derivada temporal del momento angular es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_G}{\mathrm{d}t}\right|_1 = I_G\vec{\alpha}_{21} = -\dfrac{1}{2}mR\ddot{s}\,\vec{k}. }

La única fuerza que crea momento respecto al punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} es la de rozamiento. El peso y la fuerza elástica están aplicadas en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} , y la recta soporte de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{N}_A} contiene a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} . Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{M}_G^{neto} = \overrightarrow{GA}\times\vec{f}^{\,A}_{20} = Rf\,\vec{k}. }

La ecuación que proporciona el T.M.C. es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\dfrac{1}{2}m\ddot{s} = f. \qquad (3) }

Tenemos 3 ecuaciones y 3 incógnitas: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{s, N_A, f\}} . El problema está bien definido.

Sustituyendo (3) en (1) obtenemos una ecuación en la que sólo aparece Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s(t)} y sus derivadas

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{s} + \dfrac{2}{3}\,\left(\dfrac{k}{m}-\omega_0^2\right)\,s = -\dfrac{2}{3} g\,\mathrm{sen}\,(\omega_0 t). }

Si el término que multiplica a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s} es positivo, esta es la ecuación de un oscilador armónico forzado con frecuencia natural

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}-\omega_0^2} \qquad \dfrac{k}{m}>\omega_0^2. }

Las componentes de las fuerzas vinculares son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} A = mg\cos(\omega_0t) + m(2\omega_0\dot{s} - R\omega_0^2)s,\\ \\ f = -\dfrac{1}{2}m\ddot{s} = \dfrac{1}{3}mg\,\mathrm{sen}\,(\omega_0t) + \dfrac{1}{3}(k-m\omega_0^2)s. \end{array} }

Fuerzas y momentos sobre la escuadra

La figura muestra las fuerzas y momentos que actúan sobre la escuadra. EL punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} es fijo, por lo que hay que añadir una fuerza vincular para que la ligadura se respete. Las otras fuerzas son pares de acción reacción de las fuerzas sobre el disco. Tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{O}_{01} = O_x\,\vec{\imath}_0 + O_y\,\vec{\jmath}_0,\\ \\ \vec{A}_{02} = -\vec{A}_{20} = -A\,\vec{\jmath}_0,\\ \\ \vec{f}^{\,A}_{02} = -\vec{f}^{\,A}_{20} = -f\,\vec{\imath}_0,\\ \\ \vec{\tau} = \tau,\vec{k}. \end{array} }

Las expresiones de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} son las que hemos obtenido en el apartado anterior.

La masa de la escuadra es despreciable, por tanto, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_0=0} . Entonces, al aplicar el T.C.M. y el T.M.C. los términos de inercia, donde aparece la masa del sólido, son nulos. Aplicando el T.C.M. obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\vec{C}_0} = m_0\vec{a}^{\,CM}_{01} = \vec{0} = \vec{O}_{01} + \vec{A}_{02} + \vec{f}^{\,A}_{02} \Longrightarrow \vec{O}_{01} = - \vec{A}_{02} - \vec{f}^{\,A}_{02} = f\,\vec{\imath}_0 + A\,\vec{\jmath}_0. }

Aplicamos el T.M.C en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_0=0} tenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_O=0} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}^{0}_O=\vec{0} } en todo instante de tiempo. Entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\vec{L}}^{0}_O=\vec{0} = \vec{\tau} + \overrightarrow{OA}\times\vec{A}_{02} \Longrightarrow \vec{\tau} = -\overrightarrow{OA}\times\vec{A}_{02} =-(s\,\vec{\imath}_0)\times(-A\,\vec{\jmath}_0) = sA\,\vec{k}. }

Las expresión de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle s} se obtendría resolviendo la ecuación de movimiento y la Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} la que hemos encontrado en el apartado anterior.