Barra empujando placa con vértice fijo (MR G.I.C.)

Barra empujando placa con vértice fijo

El sistema de sólidos de la figura está formado por una varilla (sólido "2", masa $m$, longitud $l_{2}=2{\sqrt {2}}a$) y por una placa cuadrada (sólido "0", masa $m$, lado $l_{0}=2a$) articulados entre sí en el punto $B$. Sobre el eje $OX_{1}$ se apoyan el extremo $A$ de la barra y el lado $BD$ del cuadrado. Todos los contactos son lisos, salvo el apoyo del cuadrado, donde el coeficiente de rozamiento $\mu$ es tal que el deslizamiento es imposible. Sobre el extremo $A$ se aplica una fuerza horizontal ${\vec {F}}=2\lambda mg{\vec {\imath }}_{1}$ donde $\lambda$ es un parámetro del problema. Inicialmente $A$ coincide con $O$.

1. Obtén el sistema de ecuaciones que permite determinar la ecuación diferencial del movimiento y las fuerzas vinculares del problema.
2. Suponiendo $\lambda =\lambda _{0}(cte.)$, demuestra que el trabajo de ${\vec {F}}$ es conservativo, con una energía potencial $V_{F}(x)=-F_{0}x$, donde $F_{0}=2\lambda _{0}mg$. Obtén el movimiento del sistema en forma de integral primera, suponiendo reposo inicial.

Solución

Geometría del problema

En la figura de la izquierda se muestra la relación entre los parámetros geométricos $x$, $\theta$ y $\psi$. Llamamos $b={\sqrt {2}}a$. La barra y la diagonal $B'D$ de la placa forman siempre un triángulo isósceles. Vemos entonces que la relación entre los ángulos es

$\theta +\psi +{\dfrac {\pi }{2}}=\pi \Longrightarrow \psi ={\dfrac {\pi }{2}}-\theta$

Por otro lado, en $t=0$ el punto $A$ estaba sobre $O$, y la placa estaba completamente apoyada sobre el eje $OX_{1}$. Por tanto $\theta (0)=\pi /4$ y ${\overline {OD}}=4a$. Entonces

$x={\overline {OD}}-{\overline {AD}}=4(a-b\cos \theta )$

Vemos que el movimiento está descrito por un sólo grado de libertad. Escogeremos el ángulo $\theta$ para describirlo

Cinemática del problema

Tanto el sólido "2" como el "0" describen una rotación plana. Vamos a encontrar las reducciones cinemáticas de estos movimientos.

Movimiento {21}

${\begin{array}{lcl}{\vec {\omega }}_{21}={\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1},&\qquad &{\vec {\alpha }}_{21}={\ddot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1}\\{\vec {v}}_{21}^{A}={\dot {x}}\,{\vec {\imath }}_{1}=4b{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1},&\qquad &{\vec {a}}_{21}^{A}={\ddot {x}}\,{\vec {\imath }}_{1}=4b({\ddot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta +{\dot {\theta }}^{2}\cos \theta )\,{\vec {\imath }}_{1}\end{array}}$

Necesitaremos la velocidad y la aceleración en el centro de masas de la barra:

${\begin{array}{l}{\vec {v}}_{21}^{G_{2}}={\vec {v}}_{21}^{A}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AG}}_{2}\\{\vec {a}}_{21}^{G_{2}}={\vec {a}}_{21}^{A}+{\vec {\alpha }}_{21}\times {\overrightarrow {AG}}_{2}-\omega _{21}^{2}{\overrightarrow {AG}}_{2}\end{array}}$

Hemos utilizado la versión simplificada de la ecuación del campo de aceleraciones, pues el movimiento es plano. El vector geométrico es

${\overrightarrow {AG}}_{2}=b\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{1}+b\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1}$

Operando llegamos a

${\begin{array}{l}{\vec {v}}_{21}^{G_{2}}=3b{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+b{\dot {\theta }}\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{1}\\{\vec {a}}_{21}^{G_{2}}=3b({\ddot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta +{\dot {\theta }}^{2}\cos \theta )\,{\vec {\imath }}_{1}+b({\ddot {\theta }}\cos \theta -{\dot {\theta }}^{2}\,\mathrm {sen} \,\theta )\,{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}$

Movimiento {01}

${\begin{array}{lcl}{\vec {\omega }}_{01}={\dot {\psi }}\,{\vec {k}}_{1}=-{\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1},&\qquad &{\vec {\alpha }}_{01}=-{\ddot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1}\\{\vec {v}}_{01}^{D}={\vec {0}},&\qquad &{\vec {a}}_{01}^{D}={\vec {0}}\end{array}}$

Necesitaremos la aceleración en el centro de masas de la placa:

${\vec {a}}_{01}^{G_{0}}={\vec {a}}_{01}^{G}+{\vec {\alpha }}_{01}\times {\overrightarrow {DG}}_{0}-\omega _{01}^{2}{\overrightarrow {DG}}_{0}$

De nuevo el movimiento es plano. El vector geométrico es

${\overrightarrow {DG}}_{0}=-b\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{1}+b\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1}$

Operando llegamos a

${\vec {a}}_{01}^{G_{0}}=b({\ddot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta +{\dot {\theta }}^{2}\cos \theta )\,{\vec {\imath }}_{1}+b({\ddot {\theta }}\cos \theta -{\dot {\theta }}^{2}\,\mathrm {sen} \,\theta )\,{\vec {\jmath }}_{1}$

Fuerzas sobre las placas

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre cada sólido. Vamos a expresarlas en el sistema $OX_{1}Y_{1}$.

Para el sólido "0"

${\begin{array}{l}{\vec {P}}_{0}=-mg\,{\vec {\jmath }}_{1}\\{\vec {N}}_{01}^{D}=N_{D}\,{\vec {\jmath }}_{1}\\{\vec {f}}_{01}^{D}=-f_{D}\,{\vec {\imath }}_{1}\\{\vec {F}}_{02}^{B}=B_{x}\,{\vec {\imath }}_{1}+B_{y}\,{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}$

Para el sólido "2" tenemos

${\begin{array}{l}{\vec {F}}=2\lambda mg\,{\vec {\jmath }}_{1}\\{\vec {P}}_{2}=-mg\,{\vec {\jmath }}_{1}\\{\vec {N}}_{01}^{A}=N_{A}\,{\vec {\jmath }}_{1}\\{\vec {F}}_{20}^{B}=-B_{x}\,{\vec {\imath }}_{1}-B_{y}\,{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}$

Ecuaciones de movimiento

Tenemos 6 incógnitas en el problema, a saber

$\{\theta ,\,N_{D},\,f_{D},\,B_{x},\,B_{y},\,N_{A}\}$

Aplicando el T.C.M. y el T.M.C. en cada sólido obtenemos 6 ecuaciones, por lo que podemos resolver el problema.

Sólido "2"

T.C.M. en el sólido "2"

$m{\vec {a}}_{21}^{G_{2}}={\vec {F}}+{\vec {P}}_{2}+{\vec {N}}_{01}^{A}+{\vec {F}}_{20}^{B}\Longrightarrow \left\{{\begin{array}{llr}(X_{1}):&3mb({\ddot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta +{\dot {\theta }}^{2}\cos \theta )=2\lambda mg-B_{x}&(1)\\(Y_{1}):&mb({\ddot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta +{\dot {\theta }}^{2}\cos \theta )=-mg-B_{y}+N_{A}&(2)\end{array}}\right.$

Aplicamos el T.M.C. en el centro de masas

${\dot {\vec {L}}}_{G_{2}}={\vec {M}}_{G_{2}}^{\mathrm {ext} }$

La derivada del momento cinético es

${\dot {\vec {L}}}_{G_{2}}=I_{2}{\vec {\alpha }}_{21}$

El momento de inercia es el de una barra respecto a un eje perpendicular a ella que pasa por su centro de masas

$I_{2}={\dfrac {1}{12}}m(2b)^{2}={\dfrac {1}{3}}mb^{2}$

Para los momentos tenemos

${\vec {M}}_{G_{2}}^{ext}={\overrightarrow {G_{2}A}}\times {\vec {F}}+{\overrightarrow {G_{2}A}}\times {\vec {N}}_{21}^{A}+{\overrightarrow {G_{2}B}}\times {\vec {F}}_{20}^{B}$

Los vectores geométricos son

${\overrightarrow {G_{2}A}}=-b\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{1}-b\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1},\qquad {\overrightarrow {G_{2}B}}=b\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{1}+b\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1}$

Operando tenemos

${\vec {M}}_{G_{2}}^{ext}=(b\cos \theta \,(B_{y}-N_{A})+b\,\mathrm {sen} \,\theta \,(2\lambda mg-B_{x}))\,{\vec {k}}$

Aplicando el T.M.C. tenemos

$I_{2}{\ddot {\theta }}=-b\cos \theta \,(B_{y}+N_{A})+b\,\mathrm {sen} \,\theta \,(2\lambda mg+B_{x})\qquad (3)$

Sólido "0"

T.C.M. en el sólido "0"

$m{\vec {a}}_{01}^{G_{0}}={\vec {P}}_{0}+{\vec {N}}_{01}^{D}+{\vec {f}}_{01}^{D}+{\vec {F}}_{02}^{B}\Longrightarrow \left\{{\begin{array}{llr}(X_{1}):&mb({\ddot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta +{\dot {\theta }}^{2}\cos \theta )=B_{x}-f_{D}&(4)\\(Y_{1}):&mb({\ddot {\theta }}\cos \theta -{\dot {\theta }}^{2}\,\mathrm {sen} \,\theta )=-mg+B_{y}+N_{D}&(5)\end{array}}\right.$

Aplicamos el T.M.C. en el punto $D$, que es un punto fijo

${\dot {\vec {L}}}_{D}={\vec {M}}_{D}^{\mathrm {ext} }$

La derivada del momento cinético es

${\dot {\vec {L}}}_{D}=I_{0}{\vec {\alpha }}_{01}$

El momento de inercia es el de una placa cuadrada respecto a un eje perpendicular a ella que pasa por el vértice $D$. El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la placa cuadrada que pasa por se su centro de masas es

$I_{0}(G_{0})={\dfrac {1}{6}}M(2a)^{2}={\dfrac {2}{3}}Ma^{2}$

Usando el teorema de Steiner el momento de inercia respecto a un eje que pasa por $D$ es

$I_{0}=I_{0}(G)+M({\sqrt {2}}a)^{2}={\dfrac {8}{3}}ma^{2}$

Entonces

${\dot {\vec {L}}}_{D}=-I_{0}{\ddot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1}$

Para los momentos tenemos

${\vec {M}}_{D}^{ext}={\overrightarrow {DG_{0}}}\times {\vec {P}}_{0}+{\overrightarrow {DB}}\times {\vec {F}}_{02}^{B}$

Los vectores geométricos son

${\overrightarrow {DG_{0}}}=-b\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{1}+b\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1},\qquad {\overrightarrow {DB}}=2{\overrightarrow {DG_{0}}}=-2b\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{1}+2b\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1}$

Recordemos que la diagonal de la placa es ${\sqrt {2}}a=b$. Operando tenemos

${\vec {M}}_{D}^{ext}=(b\cos \theta \,(mg-2B_{y})-2bB_{x}\,\mathrm {sen} \,\theta )\,{\vec {k}}_{1}$

Aplicando el T.M.C. tenemos

$I_{0}{\ddot {\theta }}=-b\cos \theta \,(mg-2B_{y})+2bB_{x}\,\mathrm {sen} \,\theta \qquad (6)$

Ecuaciones

Reunimos aquí las seis ecuaciones que hemos encontrado

${\begin{array}{lr}3mb({\ddot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta +{\dot {\theta }}^{2}\cos \theta )=2\lambda mg-B_{x}&(1)\\&\\mb({\ddot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta +{\dot {\theta }}^{2}\cos \theta )=-mg-B_{y}+N_{A}&(2)\\&\\I_{2}{\ddot {\theta }}=-b\cos \theta \,(B_{y}+N_{A})+b\,\mathrm {sen} \,\theta \,(2\lambda mg+B_{x})&(3)\\&\\mb({\ddot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta +{\dot {\theta }}^{2}\cos \theta )=B_{x}-f_{D}&(4)\\&\\mb({\ddot {\theta }}\cos \theta -{\dot {\theta }}^{2}\,\mathrm {sen} \,\theta )=-mg+B_{y}+N_{D}&(5)\\&\\I_{0}{\ddot {\theta }}=-b\cos \theta \,(mg-2B_{y})+2bB_{x}\,\mathrm {sen} \,\theta &(6)\end{array}}$

Caso con $\lambda$ constante

Si $\lambda =\lambda _{0}$, constante, la fuerza es

${\vec {F}}=F_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}$

con $F_{0}=2\lambda _{0}mg$. El trabajo realizado por la fuerza en un desplazamiento infinitesimal del punto $A$ es

$\mathrm {d} W(F_{0})={\vec {F_{0}}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}_{A}=F_{0}\mathrm {d} x$

Para que sea potencial debe ocurrir que

$\mathrm {d} V_{F}=-\mathrm {d} W(F_{0})=-F_{0}\mathrm {d} x$

sea integrable. Como $F_{0}$ es constante tenemos

$V_{f}=-\int \limits _{0}^{x}-F_{0}\mathrm {d} x=-F_{0}x$

Hemos tomado como referencia de energía potencial $V_{F}(x=0)=0$. Las fuerzas sobre la placa en $D$ no realizan trabajo, pues el punto $D$ es fijo. Entonces sólo ${\vec {F}}_{0}$ y el peso de los dos sólidos realizan trabajo. Como son todas fuerzas conservativas, la energía mecánica total se conserva

$E=T_{0}+T_{2}+V_{g0}+V_{g2}+V_{F_{0}}=cte$

Calculamos los términos de la energía mecánica. Para la barra tenemos

$T_{2}={\dfrac {1}{2}}M|{\vec {v}}_{21}^{G_{2}}|^{2}+{\dfrac {1}{2}}I_{2}|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}={\dfrac {1}{2}}(mb^{2}(1+8\,\mathrm {sen} ^{2}\theta )+I_{2})\,{\dot {\theta }}^{2}$

Para la placa, al ser $D$ un punto fijo,

$T_{0}={\dfrac {1}{2}}I_{0}|{\vec {\omega }}_{01}|^{2}={\dfrac {1}{2}}I_{0}{\dot {\theta }}^{2}$

Las energías potenciales gravitatorias son, tomando como referencia $y=0$,

${\begin{array}{l}V_{g2}=mgb\,\mathrm {sen} \,\theta \\V_{g0}=mgb\,\mathrm {sen} \,\theta \end{array}}$

Y la energía potencial asociada a ${\vec {F}}_{0}$ es

$V_{F_{0}}=-F_{0}x=-4F_{0}(a-b\cos \theta )$

Por tanto la integral primera es

${\dfrac {1}{2}}{\dot {\theta }}^{2}(I_{2}+I_{0}+mb^{2}(1+8\,\mathrm {sen} ^{2}\theta ))+2mgb\,\mathrm {sen} \,\theta -4F_{0}(a-b\cos \theta )=E_{0}=CTE$

La constante se determina evaluando la energía mecánica con las condiciones iniciales. Si parte del reposo y $A$ coincidía con $O$ tendríamos

$\theta (0)=\pi /4,\qquad {\dot {\theta }}(0)=0$

y

$E_{0}={\sqrt {2}}mgb-4F_{0}(a-b/{\sqrt {2}})=2mga$