Barra empujando placa con vértice fijo (MR G.I.C.)

Barra empujando placa con vértice fijo

El sistema de sólidos de la figura está formado por una varilla (sólido "2", masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} , longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l_2=2\sqrt{2}a} ) y por una placa cuadrada (sólido "0", masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} , lado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l_0=2a} ) articulados entre sí en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} . Sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1} se apoyan el extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} de la barra y el lado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle BD} del cuadrado. Todos los contactos son lisos, salvo el apoyo del cuadrado, donde el coeficiente de rozamiento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu} es tal que el deslizamiento es imposible. Sobre el extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} se aplica una fuerza horizontal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}=2\lambda mg\vec{\imath}_1} donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda} es un parámetro del problema. Inicialmente $A$ coincide con $O$.

1. Obtén el sistema de ecuaciones que permite determinar la ecuación diferencial del movimiento y las fuerzas vinculares del problema.
2. Suponiendo $\lambda =\lambda _{0}(cte.)$, demuestra que el trabajo de ${\vec {F}}$ es conservativo, con una energía potencial $V_{F}(x)=-F_{0}x$, donde $F_{0}=2\lambda _{0}mg$. Obtén el movimiento del sistema en forma de integral primera, suponiendo reposo inicial.

Solución

Geometría del problema

En la figura de la izquierda se muestra la relación entre los parámetros geométricos $x$, $\theta$ y $\psi$. Llamamos $b={\sqrt {2}}a$. La barra y la diagonal $B'D$ de la placa forman siempre un triángulo isósceles. Vemos entonces que la relación entre los ángulos es

$\theta +\psi +{\dfrac {\pi }{2}}=\pi \Longrightarrow \psi ={\dfrac {\pi }{2}}-\theta$

Por otro lado, en $t=0$ el punto $A$ estaba sobre $O$, y la placa estaba completamente apoyada sobre el eje $OX_{1}$. Por tanto $\theta (0)=\pi /4$ y ${\overline {OD}}=4a$. Entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x = \overline{OD} - \overline{AD} = 4(a-b\cos\theta) }

Vemos que el movimiento está descrito por un sólo grado de libertad. Escogeremos el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta} para describirlo

Cinemática del problema

Tanto el sólido "2" como el "0" describen una rotación plana. Vamos a encontrar las reducciones cinemáticas de estos movimientos.

Movimiento {21}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \vec{\omega}_{21} = \dot{\theta}\,\vec{k}_1, & \qquad & \vec{\alpha}_{21} = \ddot{\theta}\,\vec{k}_1\\ \vec{v}^A_{21} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1 = 4b\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1, &\qquad & \vec{a}^A_{21} = \ddot{x}\,\vec{\imath}_1 = 4b(\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta + \dot{\theta}^2\cos\theta)\,\vec{\imath}_1 \end{array} }

Necesitaremos la velocidad y la aceleración en el centro de masas de la barra:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{v}^{G_2}_{21} = \vec{v}^A_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG}_2\\ \vec{a}^{G_2}_{21} = \vec{a}^A_{21} + \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{AG}_2 - \omega_{21}^2\overrightarrow{AG}_2 \end{array} }

Hemos utilizado la versión simplificada de la ecuación del campo de aceleraciones, pues el movimiento es plano. El vector geométrico es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{AG}_2 = b\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + b\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1 }

Operando llegamos a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{v}^{G_2}_{21} = 3b\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + b\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}_1\\ \vec{a}^{G_2}_{21} = 3b(\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta + \dot{\theta}^2\cos\theta)\,\vec{\imath}_1 + b(\ddot{\theta}\cos\theta - \dot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\jmath}_1 \end{array} }

Movimiento {01}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \vec{\omega}_{01} = \dot{\psi}\,\vec{k}_1 = -\dot{\theta}\,\vec{k}_1, & \qquad & \vec{\alpha}_{01} = -\ddot{\theta}\,\vec{k}_1\\ \vec{v}^D_{01} = \vec{0}, &\qquad & \vec{a}^D_{01} = \vec{0} \end{array} }

Necesitaremos la aceleración en el centro de masas de la placa:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{G_0}_{01} = \vec{a}^G_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{DG}_0 - \omega_{01}^2\overrightarrow{DG}_0 }

De nuevo el movimiento es plano. El vector geométrico es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{DG}_0 = -b\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + b\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1 }

Operando llegamos a

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{a}^{G_0}_{01} = b(\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta + \dot{\theta}^2\cos\theta)\,\vec{\imath}_1 + b(\ddot{\theta}\cos\theta - \dot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\jmath}_1 }

Fuerzas sobre las placas

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre cada sólido. Vamos a expresarlas en el sistema Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1Y_1} .

Para el sólido "0"

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{P}_0 = -mg\,\vec{\jmath}_1\\ \vec{N}^D_{01} = N_D\,\vec{\jmath}_1\\ \vec{f}^D_{01} = -f_D\,\vec{\imath}_1\\ \vec{F}^B_{02} = B_x\,\vec{\imath}_1 + B_y\,\vec{\jmath}_1 \end{array} }

Para el sólido "2" tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{F} = 2\lambda mg\,\vec{\jmath}_1\\ \vec{P}_2 = -mg\,\vec{\jmath}_1\\ \vec{N}^A_{01} = N_A\,\vec{\jmath}_1\\ \vec{F}^B_{20} = -B_x\,\vec{\imath}_1 - B_y\,\vec{\jmath}_1 \end{array} }

Ecuaciones de movimiento

Tenemos 6 incógnitas en el problema, a saber

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{\theta,\, N_D,\, f_D,\, B_x,\, B_y,\, N_A\} }

Aplicando el T.C.M. y el T.M.C. en cada sólido obtenemos 6 ecuaciones, por lo que podemos resolver el problema.

Sólido "2"

T.C.M. en el sólido "2"

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{a}^{G_2}_{21} = \vec{F} + \vec{P}_2 + \vec{N}^A_{01} + \vec{F}^B_{20} \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{llr} (X_1): & 3mb(\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta + \dot{\theta}^2\cos\theta) = 2\lambda mg - B_x & (1)\\ (Y_1): & mb(\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta + \dot{\theta}^2\cos\theta) = -mg - B_y + N_A & (2) \end{array} \right. }

Aplicamos el T.M.C. en el centro de masas

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\vec{L}}_{G_2} = \vec{M}^{\mathrm{ext}}_{G_2} }

La derivada del momento cinético es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\vec{L}}_{G_2} = I_2 \vec{\alpha}_{21} }

El momento de inercia es el de una barra respecto a un eje perpendicular a ella que pasa por su centro de masas

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_2 = \dfrac{1}{12}m(2b)^2 = \dfrac{1}{3}mb^2 }

Para los momentos tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{M}^{ext}_{G_2} = \overrightarrow{G_2A}\times\vec{F} + \overrightarrow{G_2A}\times\vec{N}_{21}^A + \overrightarrow{G_2B}\times\vec{F}_{20}^B }

Los vectores geométricos son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{G_2A} = -b\cos\theta\,\vec{\imath}_1 - b\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1, \qquad \overrightarrow{G_2B} = b\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + b\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1 }

Operando tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{M}^{ext}_{G_2} = (b\cos\theta\,(B_y-N_A) + b\,\mathrm{sen}\,\theta\,(2\lambda mg - B_x))\,\vec{k} }

Aplicando el T.M.C. tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_2\ddot{\theta} = -b\cos\theta\,(B_y+N_A) + b\,\mathrm{sen}\,\theta\,(2\lambda mg + B_x) \qquad (3) }

Sólido "0"

T.C.M. en el sólido "0"

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{a}^{G_0}_{01} = \vec{P}_0 + \vec{N}^D_{01} + \vec{f}_{01}^D + \vec{F}^B_{02} \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{llr} (X_1): & mb(\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta + \dot{\theta}^2\cos\theta) = B_x - f_D & (4)\\ (Y_1): & mb(\ddot{\theta}\cos\theta- \dot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\,\theta ) = -mg + B_y + N_D & (5) \end{array} \right. }

Aplicamos el T.M.C. en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D } , que es un punto fijo

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\vec{L}}_{D} = \vec{M}^{\mathrm{ext}}_{D} }

La derivada del momento cinético es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\vec{L}}_{D} = I_0 \vec{\alpha}_{01} }

El momento de inercia es el de una placa cuadrada respecto a un eje perpendicular a ella que pasa por el vértice Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D } . El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la placa cuadrada que pasa por se su centro de masas es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_0(G_0) = \dfrac{1}{6}M(2a)^2 = \dfrac{2}{3}Ma^2 }

Usando el teorema de Steiner el momento de inercia respecto a un eje que pasa por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D } es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_0 = I_0(G) + M(\sqrt{2}a)^2 = \dfrac{8}{3}ma^2 }

Entonces

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\vec{L}}_{D} = -I_0\ddot{\theta}\,\vec{k}_1 }

Para los momentos tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{M}^{ext}_{D} = \overrightarrow{DG_0}\times\vec{P}_{0} + \overrightarrow{DB}\times\vec{F}_{02}^B }

Los vectores geométricos son

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overrightarrow{DG_0} = -b\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + b\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1, \qquad \overrightarrow{DB} = 2\overrightarrow{DG_0} = -2b\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + 2b\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1 }

Recordemos que la diagonal de la placa es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt{2}a=b } . Operando tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{M}^{ext}_{D} = (b\cos\theta\,(mg-2B_y) - 2bB_x\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{k}_1 }

Aplicando el T.M.C. tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_0\ddot{\theta} = -b\cos\theta\,(mg-2B_y) + 2bB_x\,\mathrm{sen}\,\theta \qquad (6) }

Ecuaciones

Reunimos aquí las seis ecuaciones que hemos encontrado

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lr} 3mb(\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta + \dot{\theta}^2\cos\theta) = 2\lambda mg - B_x & (1)\\ & \\ mb(\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta + \dot{\theta}^2\cos\theta) = -mg - B_y + N_A & (2)\\ & \\ I_2\ddot{\theta} = -b\cos\theta\,(B_y+N_A) + b\,\mathrm{sen}\,\theta\,(2\lambda mg + B_x) & (3)\\ & \\ mb(\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta + \dot{\theta}^2\cos\theta) = B_x - f_D & (4)\\ & \\ mb(\ddot{\theta}\cos\theta - \dot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\,\theta) = -mg + B_y + N_D & (5)\\ & \\ I_0\ddot{\theta} = -b\cos\theta\,(mg-2B_y) + 2bB_x\,\mathrm{sen}\,\theta & (6) \end{array} }

Caso con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda } constante

Si Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda=\lambda_0 } , constante, la fuerza es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F} = F_0\,\vec{\imath}_1 }

con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_0=2\lambda_0 mg } . El trabajo realizado por la fuerza en un desplazamiento infinitesimal del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A } es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}W(F_0) = \vec{F_0}\cdot\mathrm{d}\vec{r}_A = F_0\mathrm{d}x }

Para que sea potencial debe ocurrir que

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}V_F = -\mathrm{d}W(F_0) = -F_0\mathrm{d}x }

sea integrable. Como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_0 } es constante tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_f = -\int\limits_0^x -F_0\mathrm{d}x = -F_0x }

Hemos tomado como referencia de energía potencial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_F(x=0)=0 } . Las fuerzas sobre la placa en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D } no realizan trabajo, pues el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D } es fijo. Entonces sólo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_0 } y el peso de los dos sólidos realizan trabajo. Como son todas fuerzas conservativas, la energía mecánica total se conserva

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E = T_0 + T_2 + V_{g0} + V_{g2} + V_{F_0} = cte }

Calculamos los términos de la energía mecánica. Para la barra tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_2 = \dfrac{1}{2}M|\vec{v}^{G_2}_{21}|^2 + \dfrac{1}{2}I_2|\vec{\omega}_{21}|^2 = \dfrac{1}{2}(mb^2(1+8\,\mathrm{sen}^2\theta)+I_2)\,\dot{\theta}^2 }

Para la placa, al ser Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D } un punto fijo,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_0 = \dfrac{1}{2}I_0|\vec{\omega}_{01}|^2 = \dfrac{1}{2}I_0\dot{\theta}^2 }

Las energías potenciales gravitatorias son, tomando como referencia Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y=0 } ,

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} V_{g2} = mgb\,\mathrm{sen}\,\theta\\ V_{g0} = mgb\,\mathrm{sen}\,\theta \end{array} }

Y la energía potencial asociada a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}_0 } es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_{F_0} = -F_0x = -4F_0(a-b\cos\theta) }

Por tanto la integral primera es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dfrac{1}{2}\dot{\theta}^2(I_2+I_0+mb^2(1+8\,\mathrm{sen}^2\theta)) + 2mgb\,\mathrm{sen}\,\theta - 4F_0(a-b\cos\theta) = E_0 = CTE }

La constante se determina evaluando la energía mecánica con las condiciones iniciales. Si parte del reposo y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A } coincidía con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O } tendríamos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \theta(0) = \pi/4, \qquad \dot{\theta}(0) = 0 }

y

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_0 = \sqrt{2}mgb - 4F_0(a-b/\sqrt{2}) = 2mga }