Barra empujando placa deslizante (MR G.I.C.)

Enunciado

El sistema de sólidos de la figura está formado por una varilla (sólido "2", masa $m$, longitud Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l_2=2\sqrt{2}a} ) y por una placa cuadrada (sólido "0", masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} , lado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l_0=2a} ) articulados entre sí en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} . Sobre el eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX_1} se apoyan el extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} de la barra y el lado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle BD} del cuadrado. Todos los contactos son lisos. Sobre el extremo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} se aplica una fuerza horizontal creciente Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}=2\lambda mg\vec{\imath}_1} (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda=t/T} ), donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T} es una constante. Inicialmente (Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t=0} ), el sistema está en reposo y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} coincide con Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} .

1. Calcula la aceleración del sistema, los valores de las fuerzas vinculares y la posición de la fuerza normal en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle BD} , todo ello en función del tiempo.
2. Calcula el instante en que el vértice Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B'} empieza a despegar (condición de vuelco) y el trabajo realizado hasta ese instante por la fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}} .

Solución

Cinemática del problema

Suponemos que el lado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B'D} de la placa no se levanta del suelo. Entonces los dos sólidos realizan una traslación. Las reducciones cinemáticas de los tres movimientos son las siguintes.

Movimiento {21}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{21} = \vec{0}, \qquad \vec{v}^{A}_{21} = \vec{v}_{21}=\dot{x}\,\vec{\imath}_1, \qquad \vec{\alpha}_{21} = \vec{0}, \qquad \vec{a}_{21} = \ddot{x}\,\vec{\imath}_1 }

Movimiento {01}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{01} = \vec{0}, \qquad \vec{v}^{G_0}_{01} = \vec{v}_{01}=\dot{x}\,\vec{\imath}_1, \qquad \vec{\alpha}_{01} = \vec{0}, \qquad \vec{a}_{01} = \ddot{x}\,\vec{\imath}_1 }

Movimiento {20}

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{\omega}_{20} = \vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{01} = \vec{0}, \qquad \vec{v}^{B}_{20} = \vec{v}_{20}=\vec{0}, \qquad \vec{\alpha}_{20} = \vec{0}, \qquad \vec{a}_{20} = \vec{0} }

Al ser traslaciones, las velocidades son las mismas en todos los puntos del sólido. Por eso no es necesario poner las letras en los vectores velocidad.

Fuerzas que actúan sobre cada sólido

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre los sólidos "0" y "2", asi como las dimensiones de la placa, la barra y la distancia entre los puntos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B'} . Expresamos estas fuerzas en el sistema de ejes de la figura Para el sólido "0 tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{P}_0 = -mg\,\vec{\jmath}_1\\ \vec{F}_{02}^B = B_x\,\vec{\imath}_1 + B_y\,\vec{\jmath}_1\\ \vec{N}^C_{01} = N_C\,\vec{\jmath}_1 \end{array} }

Y para el sólido "2"

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{F} = F\,\vec{\imath}_1\\ \vec{N}^A_{21} = N_A\,\vec{\jmath}_1\\ \vec{P}_2 = -mg\,\vec{\jmath}_1\\ \vec{F}_{20}^B = -\vec{F}_{02}^B = -B_x\,\vec{\imath}_1 - B_y\,\vec{\jmath}_1 \end{array} }

Hemos utilizado que, por la Tercera Ley de Newton, Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}^B_{20} = -\vec{F}^B_{02}} . Al ser todos los vínculos lisos las fuerzas en los contactos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} son perpendiculares a las superficies.

Movimiento de los sólidos

Tenemos 6 incógnitas, a saber

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{x, B_x, B_y, N_C, N_A, \delta\} }

Tendremos 6 ecuaciones, provenientes de aplicar el T.C.M. y el T.M.C. a los dos sólidos. Aplicamos el T.C.M. a los dos sólidos

T.C.M. para el sólido "2":

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{a}^{G_2}_{21} = \vec{F} + \vec{N}^A_{21} + \vec{P}_2 + \vec{F}^B_{20} \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{llr} (X_1): & m\ddot{x} = F -B_x & (1)\\ (Y_1): & 0 = N_A - mg - B_y & (2) \end{array} \right. }

T.C.M. para el sólido "0":

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\vec{a}^{G_0}_{01} = \vec{N}^C_{01} + \vec{P}_0 + \vec{F}^B_{02} \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{llr} (X_1): & m\ddot{x} = B_x & (3)\\ (Y_1): & 0 = N_C - mg + B_y & (4) \end{array} \right. }

Ahora aplicamos el T.M.C. en el centro de masas de cada sólido.

T.M.C. para el sólido "2":Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\vec{L}}_{G_2} = \vec{M}^{ext}_{G_2}}

Calculamos los momentos sobre el sólido "2"

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \overrightarrow{G_2A}\times\vec{F} = (-a\,\vec{\imath}_1 - a\vec{\jmath}_1)\times(F\,\vec{\imath}_1) = aF\,\vec{k}_1\\ \overrightarrow{G_2A}\times\vec{N}^A_{21} = (-a\,\vec{\imath}_1 - a\vec{\jmath}_1)\times(N_A\,\vec{\jmath}_1) = -aN_A\,\vec{k}_1\\ \overrightarrow{G_2G_2}\times\vec{P}^{2} =\vec{0}\\ \overrightarrow{G_2B}\times\vec{F}^B_{20} = (a\,\vec{\imath}_1 + a\vec{\jmath}_1)\times(-B_x\,\vec{\jmath}_1 - B_y\,\vec{\jmath}_1) = -a(B_y-B_x)\,\vec{k}_1 \end{array} }

Por tanto el momento total de las fuerzas externas es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{M}^{ext}_{G_2} = \overrightarrow{G_2A}\times\vec{F} + \overrightarrow{G_2A}\times\vec{N}^{\,A}_{21} + \overrightarrow{G_2B}\times\vec{F}^{\,B}_{20} = a(F - N_A + B_x - B_y)\,\vec{k}_1 }

Por otro lado, el momento cinético respecto a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G_2} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_{G_2} = I_{33}(G_2)\,\vec{\omega}_{21} }

y su derivada temporal es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\vec{L}}_{G_2} = I_{33}(G_2)\,\vec{\alpha}_{21} = \vec{0} }

Aplicando el T.M.C. obtenemos la ecuación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F - N_A + B_x - B_y=0 \qquad (5) }

Hacemos lo mismo para el sólido "0". El T.M.C. nos dice Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\vec{L}}_{G_0} = \vec{M}^{ext}_{G_0}} Calculamos los momentos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \overrightarrow{G_0G_0}\times\vec{P}^{0} =\vec{0}\\ \overrightarrow{G_0B}\times\vec{F}^B_{02} = (-a\,\vec{\imath}_1 + a\vec{\jmath}_1)\times(B_x\,\vec{\jmath}_1 + B_y\,\vec{\jmath}_1) = -a(B_y+B_x)\,\vec{k}_1\\ \overrightarrow{G_0C}\times\vec{N}^C_{01} = (\delta\,\vec{\imath}_1 - a\vec{\jmath}_1)\times(N_C\,\vec{\jmath}_1) = \delta N_C\,\vec{k}_1 \end{array} }

Por tanto el momento total de las fuerzas externas es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{M}^{ext}_{G_0} = \overrightarrow{G_0B}\times\vec{F}^{\,B}_{02} + \overrightarrow{G_0C}\times\vec{N}^{\,C}_{01} = \delta N_C-aB_x-aB_y\,\vec{k}_1 }

Por otro lado, el momento cinético respecto a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G_0} es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{L}_{G_0} = I_{33}(G_0)\,\vec{\omega}_{01} }

y su derivada temporal es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{\vec{L}}_{G_0} = I_{33}(G_0)\,\vec{\alpha}_{01} = \vec{0} }

Aplicando el T.M.C. obtenemos la ecuación

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N_C\delta - B_xa - B_ya=0 \qquad (6) }

Reunimos aquí las seis ecuaciones que hemos obtenido

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lr} m\ddot{x} = F -B_x & (1)\\ 0 = N_A - mg - B_y & (2)\\ m\ddot{x} = B_x & (3)\\ 0 = N_C - mg + B_y & (4)\\ F - N_A + B_x - B_y=0 & (5)\\ N_C\delta - B_xa - B_ya=0 & (6) \end{array} }

Sumando las ecuaciones (1) y (3) obtenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ddot{x} = F/2 = \lambda g = g\dfrac{t}{T} }

De la ecuación (3) obtenemos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B_x} . Restando las ecuaciones (2) y (5) calculamos Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N_A} . El resto de incógnitas se despejan fácilmente. La solución final es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \ddot{x} &=& \lambda g\\ B_x &=& \lambda mg\\ B_y &=& \dfrac{3\lambda -1}{2}mg\\ N_A &=& \dfrac{3\lambda+1}{2}mg\\ N_C &=& \dfrac{3(1-\lambda)}{2}mg\\ \delta &=& \dfrac{5\lambda-1}{3(1-\lambda)}a \end{array} }

Momento en que el vértice Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B'} empieza a despegar

La placa estará pegada al suelo mientras el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} permanezca dentro de su base. La condición límite se alcanza cuando

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta(t_0) = a \Longrightarrow \lambda(t_0) = \dfrac{1}{2} \Longrightarrow t_0 = \dfrac{T}{2} }

Trabajo realizado por la fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F}

La potencia instantánea transmitida por la fuerza es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_F = \vec{F}\cdot\vec{v}^A_{21} = F\dot{x} }

Sabiendo que parte del reposo tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{x} = \int\limits_0^t\ddot{x}\,\mathrm{d}t = \int\limits_0^t g\dfrac{t}{T}\,\mathrm{d}t =\dfrac{g}{2T}t^2 }

El trabajo total realizado por la fuerza es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W_F = \int\limits_0^{T/2}P_F = \int\limits_0^{T/2}\dfrac{mg^2}{T^2}t^3\,\mathrm{dt} = \dfrac{1}{64}mg^2T^2 }

Otra forma de calcularlo es darse cuenta que, al considerar como un sólo sólido la barra y la, placa, la única fuerza externa que realiza trabajo es Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}} . Entonces podemos aplicar el teorema de la energía cinética para obtener

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W_F = \Delta(T_2+T_0) = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}_{21}|^2(t_0) +\dfrac{1}{2}m|\vec{v}_{01}|^2(t_0) }

Y

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{v}_{21} = \vec{v}_{01} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1 }

Utilizando el cálculo de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \dot{x}} reobtenemos el valor del trabajo de la fuerza.