Tensor de inercia de un hexágono (Dic. 2020)

Enunciado

EL sólido rígido de la figura es un hexágono de lado $L$. Cada lado del hexágono tiene una masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} .

1. Calcula el tensor de inercia del hexágono en su centro, expresado en los ejes de la figura..
2. Calcula el tensor de inercia en el vértice Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} , expresado en los mismos ejes.
3. Calcula el momento de inercia respecto a un eje paralelo al eje Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle OX} y que pase por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} .

Solución

Tensor de inercia en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O}

Al ser un sólido plano el eje perpendicular a el es Eje Principal de Inercia (EPI) en todos los puntos del plano del sólido. En este caso ese eje es el Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Z} . Además, los ejes Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle X} e Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Y} son ejes de simetría, por lo que también son EPI. Aunque en este caso, debido a la simetría del hexágono, todos los ejes que pasan por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} y están contenidos en el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle XY} son EPI.

Entonces el tensor de inercia en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} es diagonal cuando se expresa en los ejes de la figura

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overleftrightarrow{I_O} = \left[ \begin{array}{ccc} I_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & I_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & I_{zz} \end{array} \right]. }

Por la simetría en el plano Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle XY} , se tiene Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{xx}=I_{yy}} . Y usando el Teorema de los Ejes Perpendiculares tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{zz} = I_{xx} + I_{yy} = 2I_{xx} \to I_{xx} = I_{yy} = I_{zz}/2. }

Con lo cual el tensor queda

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overleftrightarrow{I_O} = \left[ \begin{array}{ccc} I_{zz}/2 & 0 & 0 \\ 0 & I_{zz}/2 & 0 \\ 0 & 0 & I_{zz} \end{array} \right]. }

Para calcular Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{zz}(O)} dividimos la integral en seis partes, una por cada barra. Tenemos así

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{zz}(O) = 6I_b(O), }

Donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_b(O)} es el momento de inercia de cada barra respecto a un eje paralelo a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Z} que pasa por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle O} . Por la simetría del hexágono esta magnitud es la misma para las seis barras. El hexágono se puede dividir en seis triángulos equiláteros de lado Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} , como se indica en la figura. Utilizando el Teorema de los Ejes Paralelos tenemos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_b(O) = I_{zz}(C) + mh^2 }

El momento Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_{zz}(C)} es el momento de inercia de la varilla respecto a un eje perpendicular a ella que pasa por su centro, esto es

$I_{zz}(C)=mL^{2}/12.$

De la figura tenemos

$h={\sqrt {L^{2}-L^{2}/4}}={\sqrt {3}}L/2.$

Por tanto

$I_{b}(O)={\dfrac {1}{12}}mL^{2}+{\dfrac {3}{4}}mL^{2}={\dfrac {5}{6}}mL^{2}.$

Y para todo el hexágono

$I_{zz}(O)=6I_{b}(O)=5mL^{2}.$

Y el tensor que se pide es

${\overleftrightarrow {I_{O}}}=\left[{\begin{array}{ccc}5mL^{2}/2&0&0\\0&5mL^{2}/2&0\\0&0&5mL^{2}\end{array}}\right].$

Tensor de inercia en $A$

Utilizamos el Teorema de Steiner para trasladar el tensor de inercia desde $O$ hasta $A$:

${\overleftrightarrow {I_{A}}}={\overleftrightarrow {I_{O}}}+m\left(|{\overrightarrow {OA}}|^{2}{\overleftrightarrow {U}}-{\overrightarrow {OA}}\,{\overrightarrow {OA}}\right).{\begin{array}{c}\end{array}}$

Tenemos

${\overrightarrow {OA}}=L\,(\cos(\pi /3)\,{\vec {\imath }}+\mathrm {sen} \,(\pi /3)\,{\vec {\jmath }})=L\,\left({\dfrac {1}{2}}\,{\vec {\imath }}+{\dfrac {\sqrt {3}}{2}}\,{\vec {\jmath }}\right)$

Operando

$|{\overrightarrow {OA}}|^{2}{\overleftrightarrow {U}}=\left[{\begin{array}{ccc}L^{2}&0&0\\0&L^{2}&0\\0&0&L^{2}\end{array}}\right],\qquad {\overrightarrow {OA}}\,{\overrightarrow {OA}}=\left[{\begin{array}{ccc}L^{2}/4&{\sqrt {3}}L^{2}/4&0\\{\sqrt {3}}L^{2}/4&3L^{2}/4&0\\0&0&0\end{array}}\right].$

El término que se añade al tensor en $O$ es

$\left[{\begin{array}{ccc}3mL^{2}/4&-m{\sqrt {3}}L^{2}/4&0\\-m{\sqrt {3}}L^{2}/4&mL^{2}/4&0\\0&0&mL^{2}\end{array}}\right].$

Y el resultado pedido es

${\overleftrightarrow {I_{A}}}=\left[{\begin{array}{ccc}13mL^{2}/4&-m{\sqrt {3}}L^{2}/4&0\\-m{\sqrt {3}}L^{2}/4&11mL^{2}/4&0\\0&0&6mL^{2}\end{array}}\right].$

Podemos observar que el Teorema de los Ejes perpendiculares se sigue cumpliendo en este tensor, como debe ser pues es un sólido plano. También vemos que el tensor en $A$ no es diagonal. Esto significa que los ejes $X$ e $Y$ no son EPI en $A$.

Momento de inercia en $A$

Una vez calculado el tensor de inercia en $A$ podemos calcular el momento de inercia respecto a un eje que pase por $A$ si tenemos un vector unitario en la dirección de ese eje

$I(A)={\vec {n}}\cdot {\overleftrightarrow {I_{A}}}\cdot {\vec {n}}.{\begin{array}{c}\end{array}}$

En este caso el vector adecuado es

${\vec {n}}={\vec {\imath }}=[1,0,0].$

Operando tenemos

$I_{xx}(A)=[1,0,0]\left[{\begin{array}{ccc}13mL^{2}/4&-m{\sqrt {3}}L^{2}/4&0\\-m{\sqrt {3}}L^{2}/4&11mL^{2}/4&0\\0&0&6mL^{2}\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}}\right]=13mL^{2}/4.$