Aro centrado en el origen (MR G.I.C.)

Enunciado

Tenemos un aro homogéneo de masa $M$ y radio $R$ con centro $O$. Se escogen los ejes coordenadas como se indica en la figura.

1. Calcula la matriz de inercia en $O$, usando los ejes indicados en la figura.
2. Calcula el momento de inercia respecto a un eje que pasa por $O$ y forma un ángulo de $\pi /3$ con el eje $OX_{3}$.
3. El aro gira alrededor del eje anterior con un vector rotación ${\vec {\omega }}$ paralelo al eje. Calcula el momento cinético en $O$ y la energía cinética del aro.

Solución

Tensor de inercia

La forma general del tensor de inercia en un punto es

${\overleftrightarrow {I_{O}}}=\left[{\begin{array}{ccc}I_{11}&-P_{12}&-P_{13}\\-P_{12}&I_{22}&-P_{23}\\-P_{13}&-P_{23}&I_{33}\end{array}}\right]$

Ya hemos usado que el tensor es simétrico. Vamos a calcular primero los elementos no diagonales.

Tenemos

$P_{13}=\int \mathrm {d} m\,x_{1}x_{3}=0$

Esta integral se anula porque para todos los puntos del aro se cumple $x_{3}=0$. Por la misma razón tenemos

$P_{23}=\int \mathrm {d} m\,x_{2}x_{3}=0$

Para el otro producto de inercia

$P_{12}=\int \mathrm {d} m\,x_{1}x_{2}=\int \mathrm {d} m(R\cos \theta )(R\,\mathrm {sen} \,\theta )$

Tenemos

$\mathrm {d} m={\dfrac {M}{2\pi R}}\,R\mathrm {d} \theta$

por lo que

$P_{12}=\int \limits _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta {\dfrac {MR}{2\pi }}\cos \theta \,\mathrm {sen} \,\theta ={\dfrac {MR}{4\pi }}\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta \,\mathrm {sen} \,(2\theta )=0$

Los tres productos de inercia son cero. Este resultado se puede obtener sin hacer cuentas con argumentos de simetría. Al ser el aro un sólido plano, el eje $X_{3}$ es principal de inercia, pues es perpendicular al plano del sólido. Y como el aro tiene simetría de revolución alrededor de $X_{3}$, todas las direcciones perpendiculares a $X_{3}$ que pasen por $O$ son principales de inercia, en particular $X_{1}$ y $X_{2}$. Entonces, el tensor de inercia es diagonal respecto a los tres ejes indicados.

Vamos con los momentos de inercia. Al ser un sistema plano tenemos

$I_{33}=I_{11}+I_{22}$

Y por la simetría del aro tenemos

$I_{11}=I_{22}\Longrightarrow I_{11}=I_{22}={\dfrac {1}{2}}I_{33}$

Basta entonces con calcular $I_{33}$.

$I_{33})\int \mathrm {d} m\,(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=\int \mathrm {d} mR^{2}=R^{2}\int \mathrm {d} m=MR^{2}$

Todos los puntos están a la misma distancia del eje $X_{3}$, el radio del aro $R$. Y la integral que queda es la masa total del aro.

Entonces el tensor de inercia en $O$ es

${\overleftrightarrow {I_{O}}}=I\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{array}}\right]$

con

$I={\dfrac {1}{2}}MR^{2}$

Momento de inercia respecto a un eje

Conocido el tensor de inercia, el momento de inercia respecto a un eje $\Delta$ que pase por el punto es

$I_{\Delta }={\vec {n}}\cdot {\overset {\leftrightarrow }{I}}_{O}\cdot {\vec {n}}$

donde ${\vec {n}}$ es un vector unitario en la dirección del eje $\Delta$.

Por simetría, podemos considerar que el eje $\Delta$ está en el plano $X_{2}X_{3}$. El resultado no debe cambiar si giramos el eje alrededor de $X_{3}$. Entonces el vector ${\vec {n}}$ es

${\vec {n}}=[0,\mathrm {sen} \,(\pi /3),\cos(\pi /3)]=[0,{\sqrt {3}}/2,1/2]$

El momento de inercia pedido es

$I_{\Delta }=I[0,{\sqrt {3}}/2,1/2]\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}0\\{\sqrt {3}}/2\\1/2\end{array}}\right]=I[0,{\sqrt {3}}/2,1/2]\left[{\begin{array}{c}0\\{\sqrt {3}}/2\\1\end{array}}\right]=I\left({\dfrac {3}{4}}+{\dfrac {1}{2}}\right)={\dfrac {5}{4}}I={\dfrac {5}{8}}MR^{2}$

Momento cinético en la rotación

El vector rotación puede escribirse ${\vec {\omega }}=\omega {\vec {n}}$ siendo ${\vec {n}}$ el vector unitario paralelo al eje del apartado anterior. Al se $O$ un punto fijo, el momento cinético es

${\vec {L}}_{O}={\overset {\leftrightarrow }{I}}_{O}\cdot {\vec {\omega }}=I\left[{\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{c}0\\{\sqrt {3}}\omega /2\\\omega /2\end{array}}\right]=I\omega \left[{\begin{array}{c}0\\{\sqrt {3}}/2\\1\end{array}}\right]$

Podemos ver que el momento cinético ${\vec {L}}_{O}$ y el vector rotación no son paralelos. El ángulo que forman es

$\cos \alpha ={\dfrac {{\vec {L}}_{O}\cdot {\vec {\omega }}}{|{\vec {L}}_{O}||{\vec {\omega }}|}}={\dfrac {5}{2{\sqrt {7}}}}$

Por tanto el eje no es dirección principal de inercia

La energía cinética es, al ser $O$ un punto fijo

$T={\dfrac {1}{2}}{\vec {\omega }}\cdot {\overset {\leftrightarrow }{I}}_{O}\cdot {\vec {\omega }}={\dfrac {\omega ^{2}}{2}}{\vec {n}}\cdot {\overset {\leftrightarrow }{I}}_{O}\cdot {\vec {n}}={\dfrac {1}{2}}I_{\Delta }\omega ^{2}={\dfrac {5}{16}}MR^{2}\omega ^{2}$